Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

Définition

L'unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$ est la fonction exponentielle. Elle est notée $x \mapsto \exp(x) = {\mathrm{e}}^x$.

Propriétés algébriques

La fonction exponentielle possède plusieurs propriétés fondamentales qui facilitent les calculs :

• ${\mathrm{e}}^0 = 1$
• Pour tous nombres réels $x$ et $y$ :

Propriétés graphiques de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction exponentielle illustre ses propriétés caractéristiques.

Suites $(e^{na})$ ($a$ réel)

Pour $a$ un nombre réel, la suite $(e^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est une suite géométrique.

En effet, pour tout nombre réel $a$ et tout entier naturel $n$, $(e^{na}) = {(e^a)}^n$.

Pour tout entier naturel $n$, nous avons donc :

$e^{(n+1)a} = {(e^a)}^{n+1}= {(e^a)}^n \times e^a = e^a \times {(e^a)}^n = e^a \times e^{na}.$

La suite $(e^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est donc une suite géométrique de raison $e^a$ (qui ne dépend pas de $n$) et de premier terme $e^0 = 1$.

Fonctions $t \mapsto e^{-kt}$ et $t\mapsto e^{kt}$ ($k > 0$)

Pour $k > 0$ un nombre réel fixé.

Fonction $t\mapsto e^{kt}$

La fonction $t\mapsto e^{kt}$ est définie, strictement croissante (croissance exponentielle) et positive sur l'ensemble des nombres réels.

Fonction $t\mapsto e^{-kt}$

La fonction $t\mapsto e^{-kt}$ est définie, strictement décroissante (décroissance exponentielle) et positive sur l'ensemble des nombres réels.

Exemples de représentations graphiques