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Probabilités conditionnelles

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Indépendance de deux événements

Intersection de deux événements
L'intersection de deux événements A et B est notée AB ("A inter B") : AB correspond à l'événement "A et B".

Événements incompatibles
Lorsqu'aucune issue ne réalise A et B, c'est-à-dire AB=, on dit que A et B sont incompatibles.

Événements indépendants
Si A et B sont indépendants, on a : 
P(AB)=P(A)×P(B).

Réunion de deux événements
La réunion de deux événements A et B est notée AB ("A union B") : AB correspond à l'événement "A ou B".

Propriétés
P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)
Si A et B sont incompatibles, on a : 
P(AB)=P(A)+P(B).

Définition

Soit A et B deux événements (A de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement B sachant que l’événement A est réalisé est : 

PA(B)=P(AB)P(A).

Exemple : 

On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a : 

PA(B)=0,6 PA(B¯)=0,4 ; PA¯(B)=0,7 PA¯(B¯)=0,3.

On a aussi, par exemple :

P(AB)=PA(B)×P(A)=0,6×0,2=0,12

et 

P(A¯B)=PA¯(B)×P(A¯)=0,7×0,8=0,56.

Formule des probabilités totales

Soient A et B deux événements tels que A, ˉA, B et ˉB sont de probabilités non nulles. AB et ˉAB forment une partition de l’événement B et on a : 

P(B)=P(AB)+P(ˉAB)P(B)=PA(B)×P(A)+PˉA(B)×P(ˉA)

Exemple :

On a vu que :

P(AB)=PA(B)×P(A)=0,6×0,2=0,12

et

P(ˉAB)=PˉA(B)×P(ˉA) =0,7×0,8=0,56

D’après la formule des probabilités totales :

P(B)=P(AB)+P(ˉAB)=0,12+0,56=0,68

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