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Probabilités conditionnelles

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Indépendance de deux événements

Intersection de deux événements
L'intersection de deux événements A et B est notée AB ("A inter B") : AB correspond à l'événement "A et B".

Événements incompatibles
Lorsqu'aucune issue ne réalise A et B, c'est-à-dire AB=, on dit que A et B sont incompatibles.

Événements indépendants
Si A et B sont indépendants, on a : 
P(AB)=P(A)×P(B).

Réunion de deux événements
La réunion de deux événements A et B est notée AB ("A union B") : AB correspond à l'événement "A ou B".

Propriétés
P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)
Si A et B sont incompatibles, on a : 
P(AB)=P(A)+P(B).

Définition

Soit A et B deux événements (A de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement B sachant que l’événement A est réalisé est : 

PA(B)=P(AB)P(A).

Exemple : 

On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a : 

PA(B)=0,6 PA(ˉB)=0,4 ; PˉA(B)=0,7 PˉA(ˉB)=0,3.

On a aussi, par exemple :

P(AB)=PA(B)×P(A)=0,6×0,2=0,12

et 

P(ˉAB)=PˉA(B)×P(ˉA)=0,7×0,8=0,56.

Formule des probabilités totales

Soient $\rm A$ et $\rm B$ deux événements tels que $\rm A$, $\rm \bar{A}$, $\rm B$ et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. $\rm A \cap B$ et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l’événement $\rm B$ et on a : 

$\begin{array}{ll}\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)\\
\rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})\end{array}$

Exemple :

On a vu que :

$\rm P(A \cap B) = {P}_A (B) \times P(A)= 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et

$\rm P(\bar{A} \cap B) = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$

D’après la formule des probabilités totales :

$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0,12 + 0,56 = 0,68$

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