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Arithmétique 2

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Divisibilité

Définition

Soit a et d deux nombres entiers relatifs.

  • d est un diviseur de a Il existe un entier relatif k tel que a=kd
  • d est un diviseur de aa est un multiple de d
  • d est un diviseur de ad divise a (noté note d/a)
  • d est un diviseur de aa est divisible par d

Nombres particuliers

Un nombre entier naturel est dit parfait s'il est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs.
Deux nombres entiers naturels sont dits amicaux si chacun d’eux est égal à la somme des diviseurs (autres que lui-même) de l’autre.

Propriété

Pour a, b et c trois entiers relatifs, si a divise b et c, alors a divise b+c, bc et bu+cv avec u et v des entiers relatifs.

Nombres premiers

Définition

Un nombre entier naturel p est un nombre premier si et seulement il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.

Exemple : 

Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

Théorème

Tout nombre entier naturel n2 admet un diviseur premier.
Si n n’est pas un nombre premier, il admet au moins un diviseur d premier tel que d2n.

Propriétés

  • Il existe une infinité de nombres premiers.
  • Un nombre entier naturel n2 se décompose de façon unique (à l’ordre des termes près) en un produit de facteurs premiers de la forme : n=p1a1×p2a2××pkak où les pi et ai (i=1 à k) sont des entiers naturels non nuls.

PGCD

Division euclidienne

Pour a un entier relatif et b un entier naturel non nul, Il existe un unique couple (q,r) d’entiers respectivement relatif et naturel qui vérifient :

a=bq+r et 0r<b.

q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.

PGCD de deux nombres

Pour a et b deux entiers relatifs non nuls, le PGCD de a et de b qui est noté PGCD(a,b), est le plus grand des diviseurs communs à a et à b.
On peut le calculer avec l’algorithme d’Euclide ou la décomposition en produit de facteurs premiers de a et de b.

Algorithme d’Euclide

Si la division euclidienne de a par b (a et b deux entiers naturels) est a=b×q+r avec 0r<b, on a PGCD(a ; b)=PGCD(b ; r).

On détermine le PGCD de deux nombres à l’aide de divisions euclidiennes successives.
Exemple : Calcul du PGCD de 252 et 144
252=1×144+108 PGCD(252 ; 144)=PGCD(144 ; 108)
144=1×108+36 PGCD(144 ; 108)=PGCD(108 ; 36)
108=3×36+0 PGCD(108 ; 36)=36 car 36 divise 108
PGCD(252 ; 108)=36 qui est le dernier reste non nul.

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Pour a et b deux entiers relatifs non nuls, a et b sont premiers entre eux est équivalent à ab est une fraction irréductible.

Congruences

Nombres entiers congrus modulo n

Soit a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul.

  • a est congru à b modulo nab multiple de n
  • a est congru à b modulo nn divise ab
  • a est congru à b modulo n Il existe un entier relatif k tel que ab=nk

La propriété a est congru à b modulo n est notée ab [n].

Opérations sur les congruences

Soit a, b, x, y, k cinq entiers relatifs et, n et p deux entiers naturels non nuls.

Si xa [n] et yb [n], alors :

x+ya+b [n] ;

xyab [n] ;

x×y a×b [n].

Si xa [n], alors :

kxka [n] ;

xpap [n].

Théorème de Bézout et de Gauss

Égalité de Bézout

Pour a et b avec d=PGCD(a,b) Il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=d.

Théorème de Bézout

Pour a et b deux entiers relatifs non nuls :

a et b premiers entre eux Il existe deux entiers u et v tels que au+bv=1.

Équation diophantienne

Pour a, b et c trois entiers relatifs non nuls et d=PGCD(a ; b), on a :

ax+by=c admet des solutions entières  c est un multiple de d.

Théorème de Gauss

Pour a, b et c trois entiers relatifs non nuls, si a divise bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Corollaire du théorème de Gauss

Pour a, b et c trois entiers relatifs non nuls, si a et b divisent c, et si a et b sont premiers entre eux, alors ab divise c.

Petit théorème de Fermat

Soit $p$ un nombre premier, et $a$ un nombre entier premier avec $p$. 
Alors $a^{p-1}$ a pour reste 1 dans la division euclidienne par $p$ (c’est-à-dire $a^{p-1}-1$ est multiple de $p$ ) :

$a^{p-1}\equiv 1 \quad [p]$.


De façon équivalente :
Soit $p$ un nombre premier, et $a$ un nombre entier quelconque.
Alors  $a^{p}\equiv a \quad [p]$, ce qui peut se lire : $a^p-a$ est un multiple de $p$.

Exemple : $2^3-2$ est un multiple de 3. En effet $2^3-2=8-2=6$ est un multiple de 3.

Attention : la réciproque du théorème est fausse.

 

📺 Vidéos GRATUIT

Résoudre une équation diophantienne
Savoir si une équation diophantienne admet des solutions
Déterminer une solution de l'équation au + bv = 1
PGCD & Algorithme d'Euclide

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