est un diviseur de Il existe un entier relatif tel que
est un diviseur de est un multiple de
est un diviseur de divise (noté note )
est un diviseur de est divisible par
Nombres particuliers
Un nombre entier naturel est dit parfait s'il est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs. Deux nombres entiers naturels sont dits amicaux si chacun d’eux est égal à la somme des diviseurs (autres que lui-même) de l’autre.
Propriété
Pour , et trois entiers relatifs, si divise et , alors divise , et avec et des entiers relatifs.
Un nombre entier naturel est un nombre premier si et seulement il admet exactement diviseurs : et lui-même.
Exemple :
Les premiers nombres premiers sont , , , , , , , ...
Théorème
Tout nombre entier naturel admet un diviseur premier. Si n’est pas un nombre premier, il admet au moins un diviseur premier tel que .
Propriétés
Il existe une infinité de nombres premiers.
Un nombre entier naturel se décompose de façon unique (à l’ordre des termes près) en un produit de facteurs premiers de la forme : où les et ( à ) sont des entiers naturels non nuls.
Pour un entier relatif et b un entier naturel non nul, Il existe un unique couple d’entiers respectivement relatif et naturel qui vérifient :
et .
est le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
PGCD de deux nombres
Pour et deux entiers relatifs non nuls, le PGCD de et de qui est noté , est le plus grand des diviseurs communs à et à . On peut le calculer avec l’algorithme d’Euclide ou la décomposition en produit de facteurs premiers de et de .
Algorithme d’Euclide
Si la division euclidienne de par ( et deux entiers naturels) est avec , on a .
On détermine le de deux nombres à l’aide de divisions euclidiennes successives. Exemple : Calcul du de et car divise qui est le dernier reste non nul.
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur est égal à . Pour et deux entiers relatifs non nuls, et sont premiers entre eux est équivalent à est une fraction irréductible.
Soit $p$ un nombre premier, et $a$ un nombre entier premier avec $p$. Alors $a^{p-1}$ a pour reste 1 dans la division euclidienne par $p$ (c’est-à-dire $a^{p-1}-1$ est multiple de $p$ ) :
$a^{p-1}\equiv 1 \quad [p]$.
De façon équivalente : Soit $p$ un nombre premier, et $a$ un nombre entier quelconque. Alors $a^{p}\equiv a \quad [p]$, ce qui peut se lire : $a^p-a$ est un multiple de $p$.
Exemple : $2^3-2$ est un multiple de 3. En effet $2^3-2=8-2=6$ est un multiple de 3.