Le référentiel est un endroit de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un mobile.

À chaque référentiel est associé :

  • un repère d’espace pour quantifier la position ;
  • un repère de temps (une horloge) pour associer une date à chaque position.

La position d’un mobile M dans un repère (O,i,j,k) est donné par son vecteur-position OM :

OM(t)=(x(t)y(t)z(t)) OM(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

L’ensemble des points, occupé successivement par le mobile M au cours du temps, est appelé trajectoire.

Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse v(t) caractérise la variation du vecteur position en fonction du temps. Il s'exprime donc comme la dérivée par rapport au temps de son vecteur position.

Le vecteur vitesse instantanée au point M s'écrit donc :

v(t)=dOMdt{t en sOM en mv en m.s1

v(t)=vx(t)i+vy(t)j+vz(t)k avec v|vx=dxdtvy=dydtvz=dzdt

Les caractéristiques du vecteur vitesse sont les suivantes :

v(t){direction : tangent à la trajectoiresens : celui du mouvementvaleur (norme) : v=v=v2x+v2y+v2z

Le vecteur accélération

Le vecteur accélération a(t) caractérise la variation du vecteur vitesse en fonction du temps. Il s'exprime donc comme la dérivée par rapport au temps de son vecteur vitesse.

Le vecteur accélération au point M s'écrit donc :

a(t)=dvdt=d2OMdt2{t en sv en m.s1a en m.s2

a(t)=ax(t)i+ay(t)j+az(t)k avec a|ax=dvxdt=d2xdt2ay=dvydt=d2ydt2az=dvzdt=d2zdt2

Les caractéristiques du vecteur accélération sont les suivantes :

a(t){direction : celle du vecteur Δv(t)sens : celui du vecteur Δv(t)valeur (norme) : a=ΔvΔt=a=a2x+a2y+a2z

Des exemples de mouvements

Mouvements rectilignes

 
Vecteur vitesse
Vecteur accélération
Rectiligne uniforme
  • Direction : droite support de la trajectoire
  • Sens : celui du mouvement
  • Valeur : constante
a=0
Rectiligne uniformément varié
  • Direction : droite support de la trajectoire
  • Sens : celui du mouvement
  • Valeur : variable au cours du temps
  • Direction : droite support de la trajectoire
  • Sens : celui de v pour un mouvement accéléré et opposé à v pour un mouvement ralenti
  • Valeur : constante

Repère de Frenet

a=aTuT+aNuN avec aT=dvdt et aN=(v2R)

Mouvements circulaires

 
Vecteur vitesse
Vecteur accélération
Circulaire uniforme
  • Direction : tangente à la trajectoire
  • Sens : celui du mouvement
  • Valeur : constante
Direction : variable et perpendiculaire à la trajectoire (aT=0)
Sens : vers le centre de la trajectoire
Valeur : constante avec aN=v2R
Circulaire varié
  • Direction : tangente à la trajectoire
  • Sens : celui du mouvement
  • Valeur : variable
  • Direction : variable et non perpendiculaire à la trajectoire (aT0)
  • Sens : vers l’intérieur de la trajectoire
  • Valeur : variable

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel Galiléen Fext=mdvdt=ma

Rappel : loi de Newton

« Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s’exercent sur lui se compensent ».