Le référentiel est un endroit de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un mobile.
À chaque référentiel est associé :
- un repère d’espace pour quantifier la position ;
- un repère de temps (une horloge) pour associer une date à chaque position.
La position d’un mobile M dans un repère (O,→i,→j,→k) est donné par son vecteur-position →OM :
→OM(t)=(x(t)y(t)z(t)) ⇔ →OM(t)=x(t)→i+y(t)→j+z(t)→k
L’ensemble des points, occupé successivement par le mobile M au cours du temps, est appelé trajectoire.
Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse →v(t) caractérise la variation du vecteur position en fonction du temps. Il s'exprime donc comme la dérivée par rapport au temps de son vecteur position.
Le vecteur vitesse instantanée au point M s'écrit donc :
→v(t)=d→OMdt{t en sOM en mv en m.s−1
→v(t)=vx(t)→i+vy(t)→j+vz(t)→k avec →v|vx=dxdtvy=dydtvz=dzdt
Les caractéristiques du vecteur vitesse sont les suivantes :
→v(t){direction : tangent à la trajectoiresens : celui du mouvementvaleur (norme) : ‖→v‖=v=√v2x+v2y+v2z
Le vecteur accélération
Le vecteur accélération →a(t) caractérise la variation du vecteur vitesse en fonction du temps. Il s'exprime donc comme la dérivée par rapport au temps de son vecteur vitesse.
Le vecteur accélération au point M s'écrit donc :
→a(t)=d→vdt=d2→OMdt2{t en sv en m.s−1a en m.s−2
→a(t)=ax(t)→i+ay(t)→j+az(t)→k avec →a|ax=dvxdt=d2xdt2ay=dvydt=d2ydt2az=dvzdt=d2zdt2
Les caractéristiques du vecteur accélération sont les suivantes :
→a(t){direction : celle du vecteur →Δv(t)sens : celui du vecteur →Δv(t)valeur (norme) : a=ΔvΔt=‖→a‖=√a2x+a2y+a2z
Des exemples de mouvements
Mouvements rectilignes
Vecteur vitesse |
Vecteur accélération |
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Rectiligne uniforme |
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→a=→0 |
Rectiligne uniformément varié |
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Repère de Frenet
→a=aT→uT+aN→uN avec aT=dvdt et aN=(v2R)
Mouvements circulaires
Vecteur vitesse |
Vecteur accélération |
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Circulaire uniforme |
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Direction : variable et perpendiculaire à la trajectoire (aT=0)Sens : vers le centre de la trajectoireValeur : constante avec aN=v2R |
Circulaire varié |
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Deuxième loi de Newton
Dans un référentiel Galiléen ∑→Fext=md→vdt=m→a
Rappel : loi de Newton
« Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s’exercent sur lui se compensent ».