Écoulement d’un fluide

Poussée d’Archimède

Principe d’Archimède : Tout corps (lâché sans vitesse initiale), posé dans un fluide homogène, subit une force verticale ascendante $\overrightarrow \pi_a$ exercée au centre de gravité $\rm G$ du corps considéré égale au poids du volume du fluide déplacé :

$\overrightarrow \pi_a = -\mathrm m_{\rm fluide} \times \overrightarrow g = -\rho \times v \times \overrightarrow g$

$\rho$ étant la masse volumique du fluide et $v$ le volume du fluide déplacé.

Caractéristique :

• Origine : centre d’inertie $\rm G$ du système.
• Sens : du bas vers le haut.
• Direction : verticale passant par $\rm G$ et le centre de la Terre.
• Norme : $\pi_a = \mathrm m_{\rm fluide} \times g = \rho \times v \times g$.

$\pi_a$ s'exprime en newton (N) ; $\rm m_{fluide}$ en $\rm kg$, $\rho$ en $\rm kg.m^{-3}$, $v$ en $\rm m^3$ et $\rm g$ en $\rm N.kg^{-1}$.

Débit volumique

Le débit en volume $\rm D$ appelé débit volumique est le volume $\rm V$ de fluide écoulé qui traverse une section droite d’un tuyau pendant une durée $\rm\Delta t$ tel que :

$\rm D = \dfrac{V}{\Delta t}$ avec $\rm D$ en $\rm m^3.s^{-1}$ ; $\rm V$ en $\rm m^3$ et $\rm \Delta t$ en $\rm s$.

Attention $\rm 1~L = 1~dm^3 = 10^{-3}~m^3$.

Le débit volumique $\rm D$ est égal au produit de la vitesse d’écoulement $v$ d'un liquide et de la surface $\rm S$ de la section droite avec $\rm D$ en $\rm m^3.s^{-1}$ ; $\rm S$ en $\rm m^2$ et $v$ en $\rm m.s^{-1}$.

$\mathrm D = \mathrm S \times v$

En débit permanent, le débit volumique d’un fluide incompressible reste constant à travers toute la section droite du tuyau : $\mathrm D = \mathrm S.v = \rm constante$.

Relation de Bernoulli

Lors de l’écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent, les évolutions de la pression $\rm P$ du fluide (en $\rm Pa$), de la vitesse du fluide (en $\rm m.s^{-1}$) et de l’altitude (en m) le long d’une ligne de courant sont modélisées par la relation de Bernoulli :

$\color{red}{\boxed{\color{black}{P + \dfrac{1}{2}\rho v^2 +\rho gz = \rm cste}}}$ avec $\rho$ masse volumique du fluide en $\rm kg.m^{-3}$.