Équations différentielles

Équations différentielles du premier ordre sans second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = 0$ où $a$ est un nombre réel non nul.

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par :

$y(x) = \lambda \mathrm e^{-ax}$ où $\lambda$ est un nombre réel.

À l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.

Équations différentielles du premier ordre avec second membre constant

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul.

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par :

$\displaystyle y(x) = \lambda \mathrm e^{-ax} + \frac{b}{a}$ où $\lambda$ est un nombre réel.

À l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.

Équations différentielles du premier ordre avec second membre non constant

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = f$ où $a$ est un nombre réel non nul et $f$ une fonction donnée.

Les solutions de l’équation différentielle $y’ + ay = f$ sont la somme d’une solution particulière de cette équation et de toutes les solutions de l’équation différentielle $y’ + ay = 0$.