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Fonction convexe 1

Fonction convexe 1

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Tableau de dérivées

Fonction	Fonction dérivée	Conditions, intervalle
$\color{black}{x \mapsto c}$ ($\color{black}{c}$ constante)	$\color{black}{x \mapsto 0}$	$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto ax + b}$ ($\color{black}{a}$, $\color{black}{b}$ constantes)	$\color{black}{x \mapsto a}$	$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto x^n}$	$\color{black}{x \mapsto nx^{n-1}}$	$\color{black}{n \in \mathbb N^*}$, $\color{black}{x \in \mathbb R}$
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^n}}$	$\color{black}{\displaystyle x\mapsto - \frac{n}{x^{n+1}}}$	$\color{black}{n \in \mathbb N^*}$, $\color{black}{x \in \mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto \cos (x)}$	$\color{black}{x \mapsto -\sin(x)}$	$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto \cos}$ $\color{black}{(ax + b)}$	$\color{black}{x \mapsto -a \sin}$ $\color{black}{(ax + b) + c}$	$\color{black}{\mathrm I = \mathbb R}$, $\color{black}{(a~; b~; c)\in \mathbb R^3}$
$\color{black}{x \mapsto \sin (x)}$	$\color{black}{x \mapsto \cos(x)}$	$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto \sin}$ $\color{black}{(ax + b)}$	$\color{black}{x \mapsto a \cos}$ $\color{black}{(ax + b) + c}$	$\color{black}{\mathrm I = \mathbb R}$, $\color{black}{(a~; b~; c)\in \mathbb R^3}$
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$	$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$	$\mathbb R$
$\color{black}{x \mapsto \ln (x)}$	$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}}$	$\mathbb R^*_+$
$\color{black}{\mathrm e^u}$	$\color{black}{u' \mathrm e^u}$
$\color{black}{(u^n)}$	$\color{black}{nu'u^{n-1}}$	$\color{black}{n \in \mathbb N}$ ou si $\color{black}{n \in \mathbb Z^-}$, $\color{black}{u(x) \neq 0}$
$\color{black}{\ln(u)}$	$\color{black}{\displaystyle \frac{u'}{u}}$	$\color{black}{\rm I}$ où $\color{black}{u}$ est strictement positive
$\color{black}{x \mapsto (g \circ f)(x)}$ $\color{black}{= g(f(x))}$	$\color{black}{x \mapsto(g \circ f)'(x) }$ $\color{black}{= (g' \circ f)(x)\times f'(x)}$ $\color{black}{= g'(f(x))\times f'(x)}$	$\color{black}{f}$ dérivable sur $\color{black}{\rm I}$, $\color{black}{f(\rm I) \subset J}$ intervalle, $\color{black}{g}$ dérivable sur $\color{black}{\rm J}$

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Dérivée et opérations

Dérivée d’une somme

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a : $(u + v) ' = u' + v'$.

Dérivée d’un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$.

Dérivée d’un produit

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(u \times v) ' = u' \times v + u \times v'$.

Dérivée d’un quotient

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $\rm I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$.

En particulier, $\displaystyle\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{{v}^2}$.

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Définition de la convexité

Fonction convexe

Une fonction est convexe sur un intervalle $\rm I$ lorsque sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.

Exemple :

La fonction exponentielle est convexe sur l’intervalle $]-\infty ~; +\infty[$. Sa courbe représentative est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse $x = 0$, ainsi qu'en tous les points d’abscisse réelle.

Fonction concave

Une fonction est concave sur un intervalle $\rm I$ lorsque sa courbe représentative est en-dessous de toutes ses tangentes.

Exemple :

La fonction logarithme népérien est concave sur l’intervalle $]0~ ; +\infty[$. Sa courbe représentative est en-dessous de sa tangente au point d’abscisse $x = 1$, ainsi qu'en tous les points d’abscisse strictement positive.

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Convexité et sens de variation de la dérivée

Pour une fonction $f$ deux fois dérivables sur un intervalle $\rm I$ :

$f$ convexe sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’$ croissante sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’’ \geq 0$ sur $\rm I$.

$f$ concave sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’$ décroissante sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’’ \leq 0$ sur $\rm I$.

Exemples (autre méthode) :

La dérivée seconde de la fonction exponentielle étant la fonction exponentielle, qui est strictement positive sur $]-\infty~; +\infty[$, elle est convexe sur l’intervalle $]-\infty~; +\infty[$.

Pour tout \[x \in ]0~ ; +\infty[, ~\ln’(x) = \displaystyle \frac{1}{x}\].

Pour tout $x \in ]0~ ; +\infty[$, $\ln’’(x) = \displaystyle -\frac{1}{{x}^2} < 0$. La fonction logarithme népérien est donc concave sur l’intervalle $]0~ ; +\infty[$.

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Point d’inflexion

Un point d’inflexion pour une courbe est un point (de la courbe) où la représentation graphique traverse la tangente en ce point.
Si la fonction est deux fois dérivable dans un intervalle contenant l’abscisse $x$ de ce point, sa dérivée seconde s’annule en changeant de signe en $x$.