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Fonction exponentielle 2 – Algébrique

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Exponentielle 1

Définition
L’unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f’ = f$ et $f(0) = 1$ est la fonction exponentielle.
Elle est notée $x \mapsto \exp(x) = {\mathrm{e}}^x$.

Propriétés algébriques
${\mathrm{e}}^0 = 1$
Pour tous nombres réels $x$ et $y$ :
${\mathrm{e}}^{x + y} = {\mathrm{e}}^x \times {\mathrm{e}}^y$ ;
$\displaystyle {\mathrm{e}}^{-x} = \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}$ ;
$\displaystyle {\mathrm{e}}^{x - y} = \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}$ ;
${({\mathrm{e}}^x)}^n = {\mathrm{e}}^{n x}$ ($n$ entier relatif).

Dérivée de $\mathrm e^u$
Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u’ \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

Exponentielle 2

Propriétés graphiques
La fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Limites

Limite en $- \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$

Limite en $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = +\infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Représentation graphique

Exponentielle 3

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

La fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

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