Fonction exponentielle 2 – Algébrique

La fonction exponentielle

Définition

L'unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$ est la fonction exponentielle. Elle est notée $x \mapsto \exp(x) = {\mathrm{e}}^x$.

Propriétés algébriques

La fonction exponentielle possède plusieurs propriétés fondamentales :

• ${\mathrm{e}}^0 = 1$
• Pour tous nombres réels $x$ et $y$ :

Dérivée de $\mathrm e^u$

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u' \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

Propriétés graphiques de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Limites

La fonction exponentielle présente des comportements asymptotiques caractéristiques aux bornes de son domaine de définition.

Limite en $- \infty$

$$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$$

Limite en $+\infty$

$$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = +\infty$$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Représentation graphique

Le graphique ci-dessous illustre les propriétés de la fonction exponentielle et ses comportements asymptotiques.

Propriétés de la fonction exponentielle

Continuité et croissance

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

Relation avec le logarithme népérien

La fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$