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Fonction exponentielle 3 – Analytique

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Définition et propriétés

Définition

La fonction exponentielle est la fonction xex
Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés

e0=1

Pour tout nombre réel a et tout nombre réel strictement positif b, on a :

ea=ba=ln(b)

Pour tous nombres réels a et b : 

ea+b=ea×eb

ea=1ea

eab=eaeb

(ea)n=ena (n entier relatif).

Dérivée de eu

Pour une fonction u dérivable sur un intervalle I, eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu sur cet intervalle.

Limites et croissances comparées de fonctions

Limites

Limite en $- \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$

Limite en $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Croissances comparées de fonctions

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\mathrm e^{x}}{x^n} = + \infty$ pour tout entier naturel $n$

Ainsi, à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur la fonction $x \mapsto x^n$, pour tout entier naturel $n$.

Équations et inéquations

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

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