Fonction logarithme 3 — Analytique

Définition

La fonction logarithme népérien définie sur $]0~;+\infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $\mathrm e^{y} = x$ d’inconnue $y$.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0~ ;+\infty[$. 
Pour tout $x \in\:]0~ ;+\infty[$, $\displaystyle \ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ~;+\infty[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ;1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1~ ;+\infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ;+\infty[$.

Propriétés

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ;

$\displaystyle \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$ ;

$\displaystyle \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ;

$\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel)

$\displaystyle \frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$.

Dérivée de $\ln(u)$

Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $\rm I$ et :

$\displaystyle (\ln(u))’ = \frac{u'}{u}$ sur cet intervalle.

Limites 

Limite en $0^+$ :

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$

Limite en $+ \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x = 0$.

Croissances comparées de fonctions

Pour tout entier naturel non nul $n$,

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0^+$
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$

Ainsi, la fonction $x \mapsto x^n$ l'emporte sur la fonction logarithme népérien en $0^+$ et $+\infty$, pour tout entier naturel $n$ non nul.

Représentation graphique

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante, donc pour tous les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :

$\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ 

$\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$ 

$\ln(a) > \ln(b) \Leftrightarrow a > b$

La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_+^*$ par :

$\displaystyle \log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

La fonction $\log$ possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien :

$\log(1) = 0$ ; $\log(10) = 1$
$\log(10^{n}) = n \log (10) = n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

La fonction $\log$ est fréquemment utilisée en physique, en chimie et en acoustique.