Limite de fonctions

Limite d’une fonction

On peut étudier la limite d’une fonction en un point de son intervalle de définition ou aux bornes de son ensemble de définition (valeur finie ou à l’infini).
On a deux cas possibles :

• la limite existe et est finie ;
• la limite est infinie ou n'existe pas.

Étude de la limite d’une fonction

Pour étudier la limite d’une fonction, on peut :

• Utiliser les propriétés sur les limites des fonctions de référence ;
• Utiliser le nombre dérivé en un point ;
• Utiliser les opérations sur les limites ;
• Utiliser les théorèmes de majoration / minoration ;
• Encadrer la fonction par deux fonctions qui ont la même limite (théorème des gendarmes).

Fonction carrée

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

Fonction cube 

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$. 

Fonction inverse 

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}$ = 0 ; $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. 

Fonction logarithme népérien

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. 

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$. (croissances comparées)

Fonction exponentielle

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm e^x = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm e^x = +\infty$.  

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ (croissances comparées).

Composée de limites

Pour $a$, $b$ et $l$ des nombres réels, $-\infty$ ou $+\infty$ :

si $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\displaystyle\lim_{y \to b} f(y) = l$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} f(u(x)) = l$.

Exemples :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} -4x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{y \to -\infty} \mathrm e^y = 0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \mathrm e^{-4x} = 0$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+$ et $\displaystyle\lim_{y \to 0^+} \ln(y) = -\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\infty$.

Asymptote horizontale  

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $\pm \infty$ est finie (un réel $k$).
L'asymptote horizontale a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Exemple : Pour $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 5}$, $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2$.

La droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en $-\infty$  et en $+\infty$. 

Asymptote verticale

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $k$ (une valeur interdite) est infinie ($\pm \infty$).
L'asymptote verticale a alors pour équation $x = k$.

Exemple : Pour $\displaystyle g(x) =\frac{1}{x-3}$, $\displaystyle\lim_{x \to 3} g(x)$ = $\pm \infty$.

La droite d’équation $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $g$.