Lois à densité

Fonction de densité

La fonction $f$ est une fonction de densité sur l'intervalle $\mathrm I = [a ~; b]$ ($a < b$) si :

• la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ;
• la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ;
• $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx = 1$.

Définition de la loi de probabilité continue

Dans ce cas, on définit une loi de probabilité continue en posant pour tout $(c , d) \in \rm I^2$ ($c < d$) :

$\displaystyle\mathrm P(c < \mathrm X < d) = \int_{c}^{d} f(x) \mathrm dx$.

Espérance

L'espérance de la variable aléatoire $\rm X$ qui suit la loi à densité $f$ sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) est :

$\displaystyle\mathrm{E(X)} = \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm dx$.

Définition

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) est définie par :

$$f(x) = \frac{1}{b - a} \text{ sur } [a~ ; b]$$

Espérance de la loi uniforme

L'espérance de la variable aléatoire $\rm X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) est :

$$\mathrm{E(X)} = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} \mathrm dx = \frac{a + b}{2}$$

Exemple

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ~; 20]$ est définie par $f(x) = \frac{1}{20}$ sur $[0~ ; 20]$. Son espérance est :

$$\rm E(X) = \frac{0 + 20}{2} = 10$$

Fonction de densité

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est définie par :

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \text{ sur l'intervalle } [0 ; +\infty[$$

Pour tout $t > 0$, la probabilité de l'événement $(X \leq t)$ est donnée par :

$$P(X \leq t) = \int_0^{t} \lambda e^{-\lambda x} dx$$

Durée de vie sans vieillissement

La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement. Cela signifie que pour tout $t > 0$ et $h > 0$, nous avons $P_{T \geq t}(T \geq t + h) = P(T \geq h)$ pour une variable aléatoire $T$ qui suit cette loi.

Espérance

L'espérance de la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est :

$$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$