Lois discrètes

Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est  une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.
La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :
$\rm P(X=0)=1-p$  et $P(X=1)=p$
On note $\mathrm X\sim \mathcal{B}(p)$.
$\mathrm{E(X)}=p$ 
$\mathrm{V(X)}=p(1-p)$
$\sigma(\mathrm X)=\sqrt{p(1-p)}$.

Loi binomiale

Lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres, on obtient un schéma de Bernoulli.
La variable aléatoire $\rm X$, comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0~ ;1[$) si :
Pour tout $k\in [|0,n|]$, $\mathrm{P(X}=k)$ $=\Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k}$ $=\mathrm C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$.
On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.
$\mathrm{E(X)}=np$ 
$\mathrm{V(X)}=np(1-p)=npq$
$\sigma(\mathrm X)=\sqrt{npq}$.

Coefficients binomiaux

$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\Big)=n$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\Big)$

Formule du triangle de Pascal

$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$

Loi uniforme

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi uniforme sur $[|1 ~;n|]$ si :

$\mathrm{P(X}=k)=\dfrac{1}{n}$ 

On a : $\mathrm{E(X)}=\displaystyle\frac{n+1}{2}$

$\rm V(X)=\displaystyle\frac{n^2-1}{12}$

Loi géométrique

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ ($p\in ]0 ~;1[$) si :
$\rm X(\Omega)=\mathbb N^*$

$\mathrm{P(X}=k)=p(1-p)^{k-1}$

On note $\mathrm X\sim \mathcal{G}(p)$.

$\mathrm{E(X)}=\dfrac{1}{p}$.

La loi géométrique est une « loi sans mémoire » : $\mathrm{P(X}>n+m|\mathrm X>n)=\mathrm{P(X}>m)$.