Soit (${\mathrm{U}}_n$) une suite de matrices qui vérifient ${\mathrm{U}}_{n+1}$ = $\rm A \times U_{n} + C$ pour tout $n$ entier naturel, où $\rm A$ et $\rm C$ sont deux matrices carrées.
Dans les exercices, on remarquera que si la suite ($\mathrm U_n$) converge, elle converge vers la matrice $\rm U$ telle que $\rm U = A \times U + C$, que l’on déterminera.
En effet, si la matrice $\rm U$ vérifie $\rm U = A \times U + C$, on a pour tout entier naturel $n$ :
$\mathrm {U}_{n+1} - \rm U$ $= \mathrm A \times \mathrm U_n + \rm C - U$
$\mathrm {U}_{n+1} - \rm U$ $\mathrm {= A} \times \mathrm U_{n} + \rm C - (A\times U + C)$ par definition de $\rm U$.
$\mathrm {U}_{n+1} - \rm U$ $ = \mathrm A \times (\mathrm U_{n} - \mathrm U)$.
On montre ensuite par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$\mathrm U_{n} - \mathrm U$ $ = \mathrm A^{n} \times \rm (U_0 - U)$.
Si la suite de matrices $(\mathrm A^n)$ tend vers la matrice nulle quand $n$ tend vers $+\infty$, $(\mathrm U_n)$ tendra vers $\rm U$ quand $n$ tend vers $+\infty$.