Nombres complexes : point de vue algébrique

Définition

Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $\mathrm{Re}(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\mathrm{Im}(z)$.

$z$ est un réel $\Leftrightarrow \mathrm{Im}(z) = 0$
$z$ est un imaginaire pur $\Leftrightarrow \mathrm{Re}(z) = 0$

L’ensemble des nombres complexes est noté : $\mathbb C$.

Addition et soustraction

Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.

Exemple :

${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 + {z}_2$ $= (3 + 5i) + (-2 + 3i)$ $= (3 + (-2)) + (5 + 3)i$ $= 1 + 8i$.
${z}_1 - {z}_2$ $= (3 + 5i) - (-2 + 3i)$ $= (3 + 2) + (5 - 3)i$ $= 5 + 2i$.

Multiplication

Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que $i^2 = -1$.

Exemple :

${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 \times {z}_2 = (3 + 5i)(-2 + 3i)$ $= -6 + 9i -10i -15$ $= -21 - i$

Division

Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple : 

${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
$\displaystyle \frac{{z}_1}{{z}_2} = \frac{3 + 5i}{-2 + 3i}$
$\displaystyle = \frac{(3+5i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}$
$\displaystyle = \frac{-6-9i-10i+15}{13}$ $\displaystyle = \frac{9 - 19i}{13}$
$\displaystyle = \frac{9}{13} - \frac{19}{13}i$

Nombre complexe conjugué

Soit un nombre complexe $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
$\bar{z} = a - bi$ est le nombre complexe conjugué de $z = a + bi$.

Propriétés du conjugué

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n$ un entier relatif. On a :

$\overline{(\bar{z})} = z$ ; $\overline{z+z'}$ $= \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\overline{z\times z'}$ $= \bar{z} \times \bar{z'}$

$\overline{z^n} = {\bar{z}}^n$ avec $z\neq 0$ lorsque $n < 0$

$\displaystyle \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\bar{z}}$ si $z\neq 0$ ; $\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ si $z'\neq 0$

Identités remarquables

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

$(z + z')^2 = z^2 + 2z z' + z'^2$

$(z - z')^2 = z^2 - 2z z' + z'^2$

$(z-z')(z+z') = z^2 - z'^2$

Formule du binôme de Newton

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n$ un entier naturel. On a : 

$\displaystyle (z + z')^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^{n-k} z'^k$ 

Exemples :

$(z + z')^3 = z^3 + 3z^2 z' +3 z z'^2 + z'^3$

$(z + z')^4 = z^4 + 4z^3 z' + 6 z^2 z'^2 + 4z z'^3 + z'^4$