Primitives et équations différentielles

Définition

On considère une fonction $f$ continue sur l’intervalle $I$. La fonction $\rm F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\rm I$ si pour tout $x \in \rm I$, $\mathrm F'(x) = f(x)$.
L'ensemble des primitives de la fonction $f$ sur $\rm I$ est alors composé des fonctions définies sur $\rm I$ par $\mathrm F(x) + k$ avec $k$ un nombre réel.

Exemple : 

Les primitives de la fonction $f$ définies par $f(x) = {x}^2$ sur $]- \infty~ ; + \infty[$ sont les fonctions $\displaystyle \mathrm F(x) = \frac{{x}^3}{3} + k$ avec $k$ un nombre réel.

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

Tableau de primitives :

Équations différentielles du premier ordre sans second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = 0$ où $a$ est un nombre réel non nul.

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par :

$y(x) = \lambda \mathrm e^{-ax}$ où $\lambda$ est un nombre réel.

À l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.

Équations différentielles du premier ordre avec second membre constant

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul.

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par :

$\displaystyle y(x) = \lambda \mathrm e^{-ax} + \frac{b}{a}$ où $\lambda$ est un nombre réel.

À l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.