Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par le point $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ~; {y}_{\mathrm{A}}~ ; {z}_{\mathrm{A}})$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha~ ; \beta~ ; \gamma) \neq \vec{0}$ est : 

$x = \alpha t + {x}_{\mathrm{A}}$
$y = \beta t + {y}_{\mathrm{A}}$
$z = \gamma t +{z}_{\mathrm{A}}$

avec $t$ un nombre réel.

Réciproquement, les équations suivantes :

$x = \alpha t + {x}_{\mathrm{A}}$
$y = \beta t + {y}_{\mathrm{A}}$
$z = \gamma t + {z}_{\mathrm{A}}$

avec $t$ un nombre réel sont une représentation paramétrique de la droite $\rm (D)$ passant par le point $A({x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{A}}~ ; {z}_{\mathrm{A}})$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha~ ; \beta~ ; \gamma) \neq \vec{0}$. 

Exemple :

Une représentation paramétrique de la droite passant par les points $\mathrm{A}(-1~;~-2~;~2)$ et $\mathrm{B}(3~;~0~;~1)$ est :

$x = 4t - 1$
$y = 2t - 2$
$z = -t + 2$ 

Avec $t$ un nombre réel, car elle passe par le point $\mathrm{A}$ et admet pour vecteur directeur :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3-(-1)~;~0-(-2)~;~1 - 2)$

Soit : 

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}(4~; ~2~;~-1)$.

Vecteur normal

Un vecteur normal à un plan de l’espace est un vecteur non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan (ou bien à seulement deux vecteurs non colinéaires de ce plan).

Équation cartésienne d’un plan de l’espace

Le plan $\rm P$ dont $\vec{n}(a~ ; b~ ; c) \neq \vec{0}$ est un vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $d$ un nombre réel à déterminer à l’aide des coordonnées d’un point du plan $\rm P$.

Réciproquement, l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a~;~b~;~c) \neq (0~;~0~;~0)$ et $d$ un nombre réel est celle d'un plan qui admet le vecteur $\vec{n}(a~;~b~;~c) \neq \vec{0}$ pour vecteur normal.

Exemple :

Le plan $Q$ passant par le point $\mathrm{A}(1~; ~2~;~-1)$ dont $\vec{n}(2~;~ -1~;~3)$ est un vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme $2x - y + 3z + d = 0$ ($d$ nombre réel). 

$\mathrm{A}(1~;~2~;~-1) \in Q$ donc

$2 - 2 - 3 + d = 0$ et $d = 3$.

Une équation cartésienne du plan $Q$ est :

$2x - y + 3z + 3 = 0$.

Projeté orthogonal sur une droite

Le projeté orthogonal d'un point $\mathrm{A}\notin \rm D$ sur une droite $\rm D$ est le point $\rm H \in D$ tel que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ est un vecteur normal à la droite $\rm D$.

La distance du point $\rm A$ à la droite $\rm D$ est la distance $\rm AH$.

Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal d'un point $\rm A \notin P$ sur un plan $\rm P$ est le point $\rm H \in P$ tel que le vecteur $\overrightarrow{\rm AH}$ est un vecteur normal au plan $\rm P$.

La distance du point $\rm A$ au plan $\rm P$ est la distance $\rm AH$.