Suites 2

Le raisonnement par récurrence comporte 3 phases :

• Initialisation : vérifier la propriété au premier rang (souvent $n = 0$ ou $n = 1$) ;
• Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un certain rang $n$ et on la démontre pour le rang $n + 1$. C'est l'étape fondamentale de la récurrence.
• Conclusion.

Définition

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 + nr$.

Monotonie d’une suite arithmétique

Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante.
Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante.
Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : 

$S = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = (n + 1) \frac{{u}_0 + {u}_{n}}{2}$

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$.
On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 \times {q}^{n}$.

Monotonie d’une suite géométrique

Supposons que $u_0 > 0$ et $q > 0$.

Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante.
Si $q < 1$, alors la suite est strictement décroissante.
Si $q =1$, alors la suite est constante.

Limite d’une suite géométrique 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout entier naturel $n$. 

• Si $q > 1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ donc  $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $u_0$. 
• Si $q = 1$,   $u_n = u_0$ pour tout entier naturel $n$ et  $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = u_0$.
• Si $-1 < q < 1$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n$ = 0 donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.
• Si $q \leq -1$,  la suite $(q^n)$ n'admet pas de limite donc la suite $(u_n)$ n'admet pas de limite non plus
  $\rightarrow u_n = u_0 \times q^n$ donc le $u_0$ ne joue un rôle que pour le signe de l’expression, pas dans la convergence..

Somme des premiers termes 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$ :

$\mathrm S_n = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = {u}_0 \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}$

Convergence d’une suite

On étudie la limite de ${u}_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ . 
On a deux cas possibles :

• Si la limite est finie, alors $({u}_{n})$ converge ;
• Si la limite est infinie ou n'existe pas, alors $({u}_{n})$ diverge.

Étude de la limite d’une suite

Pour étudier la limite, on peut :

• Utiliser les théorèmes sur les limites de fonctions ;
• Utiliser les propriétés des limites de suites géométriques ;
• Utiliser les opérations sur les limites ;
• Utiliser les théorèmes de majoration / minoration et de convergence monotone ;
• Encadrer la suite par deux suites qui ont la même limite (théorème des gendarmes).