Suites 2

Convergence d’une suite

On étudie la limite de ${u}_{n}$ lorsque n tend vers $+\infty$. 
On a deux cas possibles :

• Si la limite est finie, alors $({u}_{n})$ converge ;
• Si la limite est infinie ou n'existe pas, alors $({u}_{n})$ diverge.

Étude de la limite d’une suite

Pour étudier la limite, on peut :

• • Utiliser les théorèmes sur les limites de fonctions ;
  • Utiliser les propriétés des limites de suites géométriques ;
  • Utiliser les opérations sur les limites ;
  • Utiliser les théorèmes de majoration/minoration ;
  • Encadrer la suite par deux suites qui ont la même limite (théorème des gendarmes).

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$, appelé raison de la suite.
On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\displaystyle \frac{{u}_{n + 1}}{{u}_{n}}$ et on obtient un réel $q$.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q \geq 0$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 \times {q}^{n}$.

Limite d’une suite géométrique 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_n = u_0 \times q^n$ $(q\geq 0)$ pour tout entier naturel $n$. 

Si $q > 1$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ donc  $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $u_0$. 

Si $q = 1$,   $u_n = u_0$ pour tout entier naturel $n$ et  $\lim_{n\to+\infty} u_n = u_0$.

Si $0 \leq q < 1$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n$ = 0 donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.

Somme des premiers termes 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$ :

$\mathrm S_n = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = {u}_0 \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}$

Si, de plus, $0 \leq q < 1$, on a $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^{n+1} = 0$ donc :

 $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \mathrm S_n = \frac{u_0}{1-q}$.

Une suite arithmético-géométrique est une suite (${u}_{n}$) définie par la relation de récurrence ${u}_{n +1} = a{u}_{n} + b$ pour tout nombre entier naturel $n$, avec $a\neq 1$ et $b\neq 0$ deux nombres réels, et une valeur ${u}_0$.

Exemple :

La suite (${u}_{n}$) définie pour tout nombre entier naturel $n$ par ${u}_{n +1} = 2{u}_{n} - 3$ et ${u}_0 = 5$ est une suite arithmético-géométrique.