Continuité des fonctions

On dit qu’une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ si elle est définie sur $\rm I$ et si on peut tracer sa courbe représentative d’un trait continu, sans lever le crayon.

En utilisant les limites, pour $a\in \rm I$ :

$f$ continue en $a$ est équivalent à $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Exemples :

• Les fonctions usuelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$.
• La fonction carré est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction inverse est continue sur $]-\infty~ ; 0[$ et sur $]0~ ; +\infty[$.
• La fonction racine carrée est continue sur $[0~ ; +\infty[$.
• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.

Théorème 1 dit « des valeurs intermédiaires »

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a~ ; b]$ toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes au moins une fois.

Théorème 2 dit « de la valeur intermédiaire »

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a~ ; b]$ quel que soit le nombre $c$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique nombre $\alpha$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(\alpha) = c$.