|
Fonction |
Fonction dérivée |
Conditions, intervalle |
$\color{black}{x \mapsto c}$
|
$\color{black}{x \mapsto 0}$ |
$\color{black}{\mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto ax + b}$
|
$\color{black}{x \mapsto a}$ |
$\color{black}{\mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto x^n}$ |
$\color{black}{x \mapsto nx^{n-1}}$ |
$\color{black}{n \in \mathbb N^*}$, $\color{black}{x \in \mathbb R}$ |
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^n}}$ |
$\color{black}{\displaystyle x\mapsto - \frac{n}{x^{n+1}}}$ |
$\color{black}{n \in \mathbb N^*}$, $\color{black}{x \in \mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto \cos (x)}$ |
$\color{black}{x \mapsto -\sin(x)}$ |
$\color{black}{\mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto \cos}$ $\color{black}{(ax + b)}$ |
$\color{black}{x \mapsto -a \sin}$ $\color{black}{(ax + b) + c}$ |
$\color{black}{\mathrm I = \mathbb R}$,
|
$\color{black}{x \mapsto \sin (x)}$ |
$\color{black}{x \mapsto \cos(x)}$ |
$\color{black}{\mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto \sin}$ $\color{black}{(ax + b)}$ |
$\color{black}{x \mapsto a \cos}$ $\color{black}{(ax + b) + c}$ |
$\color{black}{\mathrm I = \mathbb R}$,
|
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$ |
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$ |
$\mathbb R$ |
$\color{black}{x \mapsto \ln (x)}$ |
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}}$ |
$\mathbb R^*_+$ |
$\color{black}{\mathrm e^u}$ |
$\color{black}{u' \mathrm e^u}$ |
|
$\color{black}{(u^n)}$ |
$\color{black}{nu'u^{n-1}}$ |
$\color{black}{n \in \mathbb N}$ ou si $\color{black}{n \in \mathbb Z^-}$, $\color{black}{u(x) \neq 0}$ |
$\color{black}{\ln(u)}$ |
$\color{black}{\displaystyle \frac{u'}{u}}$ |
$\color{black}{\rm I}$ où $\color{black}{u}$ est strictement positive |
$\color{black}{x \mapsto (g \circ f)(x)}$ $\color{black}{= g(f(x))}$ |
$\color{black}{x \mapsto(g \circ f)'(x) }$ $\color{black}{= (g' \circ f)(x)\times f'(x)}$ $\color{black}{= g'(f(x))\times f'(x)}$ |
$\color{black}{f}$ dérivable sur $\color{black}{\rm I}$, $\color{black}{f(\rm I) \subset J}$ intervalle, $\color{black}{g}$ dérivable sur $\color{black}{\rm J}$ |
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Fonction convexe 2
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Dérivée et opérations
Dérivée d’une somme
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a : $(u + v) ' = u' + v'$.
Dérivée d’un produit par un réel
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(k \times u)' = k \times u'$.
Dérivée d’un produit
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(u \times v) ' = u' \times v + u \times v'$.
Dérivée d’un quotient
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $\rm I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$.
En particulier, $\displaystyle\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{{v}^2}$.
Définition de la convexité
Fonction convexe
Une fonction est convexe sur un intervalle $\rm I$ lorsque sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.
Exemple :
La fonction exponentielle est convexe sur l’intervalle $]-\infty ~; +\infty[$. Sa courbe représentative est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse $x = 0$, ainsi qu'en tous les points d’abscisse réelle.
Fonction concave
Une fonction est concave sur un intervalle $\rm I$ lorsque sa courbe représentative est en-dessous de toutes ses tangentes.
Exemple :
La fonction logarithme népérien est concave sur l’intervalle $]0~ ; +\infty[$. Sa courbe représentative est en-dessous de sa tangente au point d’abscisse $x = 1$, ainsi qu'en tous les points d’abscisse strictement positive.
Convexité et sens de variation de la dérivée
Pour une fonction $f$ deux fois dérivables sur un intervalle $\rm I$ :
$f$ convexe sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’$ croissante sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’’ \geq 0$ sur $\rm I$.
$f$ concave sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’$ décroissante sur $\mathrm I \Leftrightarrow f’’ \leq 0$ sur $\rm I$.
Exemples (autre méthode) :
La dérivée seconde de la fonction exponentielle étant la fonction exponentielle, qui est strictement positive sur $]-\infty~; +\infty[$, elle est convexe sur l’intervalle $]-\infty~; +\infty[$.
Pour tout \[x \in ]0~ ; +\infty[, ~\ln’(x) = \displaystyle \frac{1}{x}\].
Pour tout $x \in ]0~ ; +\infty[$, $\ln’’(x) = \displaystyle -\frac{1}{{x}^2} < 0$. La fonction logarithme népérien est donc concave sur l’intervalle $]0~ ; +\infty[$.
Point d’inflexion
Un point d’inflexion pour une courbe est un point (de la courbe) où la représentation graphique traverse la tangente en ce point.
Si la fonction est deux fois dérivable dans un intervalle contenant l’abscisse $x$ de ce point, sa dérivée seconde s’annule en changeant de signe en $x$.
Exemple :
Le point d’abscisse $x = 0$ est un point d’inflexion pour la courbe représentative de la fonction :
\[x \mapsto {x}^3 = f(x)\]
$f$ est deux fois dérivable sur $]-\infty~ ; +\infty[$ et pour tout
\[x \in ]-\infty~ ; +\infty[, ~f’(x) = 3{x}^2\text{ et }f’’(x) = 6x\].
$f’’$ s’annule en changeant de signe en $x = 0$.
Graphiquement, au point d’abscisse $x = 0$, la courbe traverse sa tangente en ce point d’équation $y = 0$.
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