Fonction exponentielle 3 – Analytique

Définition

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto \mathrm e^{x}$. 
Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés

$\mathrm e^0 = 1$

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : 

$\mathrm e^{a + b} = e^{a} \times \mathrm e^{b}$ ; 

$\mathrm e^{-a} = \frac{1}{\mathrm e^{a}}$ ; 

$\displaystyle \mathrm e^{a - b} = \frac{e^{a}}{\mathrm e^{b}}$ ; 

${(\mathrm e^{a})}^{n} = \mathrm e^{n a}$ ($n$ entier relatif).

Dérivée de $\mathrm e^u$

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u’ \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

Limites

Limite en $- \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$

Limite en $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Croissances comparées de fonctions

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\mathrm e^{x}}{x^n} = + \infty$ pour tout entier naturel $n$

Ainsi, à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur la fonction $x \mapsto x^n$, pour tout entier naturel $n$.

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$