Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})$.

Vecteurs de l’espace

Pour deux points distincts de l'espace $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est défini par sa direction (la droite $\mathrm{(AB)}$ de l'espace), son sens (de $\mathrm{A}$ vers $\mathrm{B}$) et sa longueur $\mathrm{AB} = \| \overrightarrow{\mathrm{AB}} \|$.

Comme en géométrie plane, on peut définir la translation $t_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$ de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ qui transforme le point A en le point B.

Coordonnées de vecteurs

• Pour $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$ deux points de l'espace et $\alpha$ un réel, on a :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} ({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}} ;{z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})$ 
$\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\alpha({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}}) ; \alpha({y}_{\mathrm{B}} -{y}_{\mathrm{A}}) ; \alpha({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}}))$

• Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x’ ; y’ ; z’)$, deux vecteurs de l'espace, on a :

$\vec{u} + \vec{v} (x + x’ ; y + y’ ; z + z’)$.

Vecteurs colinéaires et points alignés

• Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.
• Trois points de l’espace $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$, deux à deux différents, sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires.

Caractérisation d’une droite de l’espace

Pour un point A et un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ de l'espace, la droite passant par le point A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l'ensemble des points M de l'espace tels que :

$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \overrightarrow{u}$ avec $k$ un nombre réel.

Caractérisation d’un plan de l’espace

Pour un point A et deux vecteurs non nuls et non colinéaires $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$, le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ est l'ensemble des points M de l'espace tels que :

$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k_1 \overrightarrow{v} + k_2 \overrightarrow{w}$ avec $k_1$ et $k_2$ deux nombres réels.

Deux droites distinctes de l’espace qui sont coplanaires sont soit parallèles, soit sécantes.
Si ces deux droites de l’espace ne sont pas coplanaires, elles sont dites non coplanaires.

Orthogonalité, perpendicularité 

Deux droites de l’espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.

Propriétés du parallélisme et de l’orthogonalité 

• Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
  
• Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
• Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est orthogonale à l’autre.

Propriétés analytiques 

• Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de l’une sont colinéaires aux vecteurs directeurs de l’autre.
  
  
• Deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire d’un vecteur directeur de l’une et d’un vecteur directeur de l’autre est nul.

Une droite et un plan de l’espace sont soit parallèles (ou confondus), soit sécants.

Orthogonalité, perpendicularité

Pour une droite et un plan de l’espace, les termes perpendiculaires et orthogonaux sont équivalents.

Propriétés du parallélisme et de l’orthogonalité 

• Une droite est parallèle à un plan dès qu’elle est parallèle à une seule droite de ce plan.
• Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, ou bien si elle est orthogonale à seulement deux droites sécantes de ce plan.

Propriétés analytiques

• Une droite et un plan de l’espace sont parallèles si et seulement si le produit scalaire des vecteurs directeurs de la droite et des vecteurs normaux du plan est nul.
  
  
• Une droite et un plan de l’espace sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs directeurs de la droite et les vecteurs normaux du plan sont colinéaires. 

Deux plans distincts de l'espace sont soit parallèles, soit sécants selon une droite.

Propriétés du parallélisme et de l’orthogonalité 

- Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. 
- Si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. 
- Si deux plans sont perpendiculaires, tout plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre. 
- Si deux plans sont perpendiculaires, tout plan perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.

Propriétés analytiques

• Deux plans de l’espace sont parallèles si et seulement si les vecteurs normaux de l’un sont colinéaires aux vecteurs normaux de l’autre.
  
  
• Deux plans de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire d’un vecteur normal de l’un et d’un vecteur normal de l’autre est nul.