Probabilités conditionnelles

Soit $\rm A$ et $\rm B$ deux événements ($\rm A$ de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement $\rm B$ sachant que l’événement $\rm A$ est réalisé est : 

$\displaystyle \rm P_{A} (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Exemple : 

On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a :

$\rm P_A (B) = 0,6$ $\rm P_A (\bar{B}) = 0,4$ ; $\rm P_{\bar{A}} (B) = 0,7$ ; $\rm P_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$.

On a aussi, par exemple :

$\rm P(A \cap B)$ $\rm = P_A (B) \times P(A)$ $= 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et 

$\rm P(\bar{A} \cap B)$ $\rm = P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

Soient $\rm A$ et $\rm B$ deux événements tels que $\rm A$, $\rm \bar{A}$, $\rm B$ et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. $\rm A \cap B$ et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l’événement $\rm B$ et on a : 

$\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)$
$\rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$

Exemple :

On a vu que :

$\rm P(A \cap B)$ $\rm = {P}_A (B) \times P(A)$ $= 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et

$\rm P(\bar{A} \cap B)$ $\rm = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$

D’après la formule des probabilités totales :

$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ $= 0,12 + 0,56 = 0,68$