Fonction logarithme décimal

Définition

Le logarithme décimal, noté $\log$, est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

pour tout $b$ > 0, $\log(b)$ est l’unique solution de $10^x$ = $b$.

Pour $x$ > 0 et $a$ réel : $\log(x)$ = $a$ $\Leftrightarrow$ $x$ = $10^a$.

Elle est strictement croissante sur ]0 ; $+\infty$[.

Propriétés algébriques

$\log(1)$ = 0 donc log est négative sur ]0 ; 1] et positive sur [1 ; $+\infty$[.  

$\log(10) = 1$.

Pour tout $a$ et $b$ réels strictement positifs, et $n\in \mathbb{N}$ :

$\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)$ ;

$\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log(b)$ ;

$\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ ;

$\log(a^n) = n\log(a)$ ;

Pour $a = 10$, $\log(10^n) = n\log(10) = n$.

Equation et inéquation

$\log(a) = \log(b)$ $\Leftrightarrow$ $a = b$

$\log(a) \leq \log(b)$ $\Leftrightarrow$ $a \leq b$

Représentation graphique