Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :
$y’ + ay = 0$ où $a$ est un nombre réel non nul.
Théorème :
Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-ax}$ où $k$ est un nombre réel.
A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $k$ et la solution sera unique.
Exemple : résoudre l’équation $y’ + 2y = 0$ avec $y(0) = 3$.
Les solutions de l’équation $y’ + 2y = 0$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-2x}$ où $k$ est un nombre réel.
$y(0) = k \mathrm e^0 = k = 3$.
L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = 3\mathrm e^{-2x}$.
