Définition
Pour $a > 0$ fixé, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $\exp_a : x \mapsto a^x$.
Elle est définie et positive sur $\mathbb{R}$ ; $\exp_a(0) = 1$.
Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
- pour $0 < a < 1$, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$.
- pour $a = 1$, la fonction est constante sur $\mathbb{R}$.
- pour $a > 1$, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.
Propriétés algébriques
Pour tous les $x$ et $y$ réels, et $n$ entier relatif :
$a^{x + y} = a^x \times a^y$ ; $a^{x - y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ ; $a^{nx} = (a^x)^n$.
Racine $n$-ième d’un réel positif $\left( a = \dfrac{1}{n}\right)$
Pour un réel $a > 0$ et $n$ un entier naturel non nul, la solution positive de l’équation $x^n = a$ est $x = a^{\frac{1}{n}}$ que l’on peut calculer à la calculatrice.
On résout ce type d’équation pour calculer un taux d’évolution moyen associé à des évolutions successives dont le taux est donné.
Représentations graphiques selon les valeurs de $\bf a > 0$
$a = 1$ ; $0 < a = 0,3 < 1$ ; $a = 2 > 1$
