Nombres complexes

Forme algébrique d’un nombre complexe

Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.

$a = \rm{Re}(z)$ est appelé partie réelle de $z$ ;

$b = \rm{Im}(z)$ est appelé partie imaginaire de $z$.

$\bar{z} = a - bi$ est le nombre complexe conjugué de $z = a + bi$.

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, $r\in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r = \rm{OM}$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z) = (\vec{u}~ ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ à $2\pi$ près, dans le repère orthonormal direct (0 ; $\vec{u}$ ; $\vec{v}$).

Forme ou notation exponentielle

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme exponentielle (ou avec la notation exponentielle) lorsque $z = r\mathrm e^{i\theta}$, où $r\in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

Propriétés du module et de l’argument

Pour tous les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a :

$\mid z_1 \times z_2 \mid = \mid z_1 \mid \times \mid z_2 \mid$

$\arg(z_1 \times z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ [2$\pi$]

$\mid {z_1}^n \mid = {\mid z_1 \mid}^{n}$

$\arg({z_1}^{n}) = n\times \arg(z_1)$ [2$\pi$]

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0$,

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ et

$\cos(\theta) = \frac{a}{r}$ et $\sin(\theta) = \frac{b}{r}$.

On utilise ensuite le cercle trigonométrique pour déterminer $\theta$.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$,

$a =r\cos(\theta)$  et $b = r \sin(\theta)$.

Formules d’addition du cosinus et du sinus

Pour $a$ et $b$ deux réels :

$\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$

$\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)$

$\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$

$\sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)$

Formules de linéarisation

Pour un réel $a$ :

$\cos^2(a) = \dfrac{\cos(2a) + 1}{2}$

$\sin^2(a) = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}$

On se place dans le plan complexe orienté muni d’un repère orthonormé  $(\mathrm{O}~ ; \vec{u}~ ; \vec{v})$.

Translation

Pour un nombre complexe $b$, la transformation $z \mapsto z + b$ est la translation de vecteur $\vec{w} (b)$.

Homothétie

Pour un nombre réel $a$, la transformation $z \mapsto az$ est l’homothétie de centre $\mathrm O$ et de rapport $a$.

Rotation

Pour un nombre réel $\theta$, la transformation $z \mapsto \mathrm e^{i\theta} z$ est la rotation de centre $\mathrm O$ et d’angle dont une mesure est $\theta$.