Chute verticale avec frottement visqueux

Système : bille de masse $\rm m$
Référentiel : terrestre considéré galiléen
Bilan des forces : poids de la bille et force de frottement visqueux $\vec f = -k~\vec v$
2^nde Loi de Newton : $\displaystyle \sum \overrightarrow{\rm F} = m\vec a \Leftrightarrow \overrightarrow{\rm P} + \vec f = m\vec a$
$m\vec \mathrm g - k\vec v = m\vec a$

On projette maintenant cette relation sur l'axe $\mathrm Oz$ vertical ascendant.

$-m\mathrm g - kv_z = ma$ $\Leftrightarrow m\dfrac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt} + kv_z = -m\mathrm g$ $\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt} + \dfrac{k}{m}v_z = -\rm g}$

$\dfrac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt} + \dfrac{v_z}{\tau} = -\rm g$ avec $\tau = \dfrac{m}{k}$
  
La notation $\tau$ fait référence à un temps. En effet, la grandeur $\tau = \dfrac{m}{k}$ est un temps caractéristique de la fonction $v = f(t)$.

Résolution de l’équation différentielle :

Solution de l'équation homogène

Equation homogène : $\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt} + \dfrac{v}{\tau} = 0$ $\Longrightarrow$ Solution : $v_h= \mathrm A \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)$ avec une $\rm A$ constante.

Solution particulière

Le seconde membre étant constant (égal à $\rm -g$), on cherche une solution particulière $v_p = \rm cste$.

Alors $\dfrac{\mathrm dv_p}{\mathrm dt} = 0$ et on obtient $v_p = -\rm g~\tau$.

Solution globale

On a donc : $v_z = \mathrm A \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) + -\mathrm g~\tau$

On peut maintenant déterminer $\rm A$ à l'aide des conditions initiales :

$\mathrm A~t =0 = v(t=0) = 0$ $= \mathrm A - \mathrm g~\tau \Leftrightarrow \rm A = g~\tau$

Et finalement $\boxed{v_z = \mathrm g~\tau \left(\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)-1\right)}$

Vitesse limite, régime permanent et régime transitoire : 

Le régime est transitoire tant que la vitesse évolue  et le régime est permanent lorsque la vitesse limite est atteinte. On considère qu’au bout de $5\tau$, le régime permanent est atteint. 

Détermination de $\tau$ : On cherche l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe en $t = 0$ et l’asymptote quand $t \rightarrow \infty$ de la courbe $|v_z| = f(t)$. 
Détermination de la vitesse limite : La vitesse limite est constante, donc :

$\dfrac{\mathrm dv_z\lim}{\mathrm dt} + \dfrac{v_z\lim}{\tau} = -\rm g$ $\Leftrightarrow 0 + \dfrac{v_a\lim}(\tau} = -\rm g$ $\Leftrightarrow v_z \lim = -\rm g~\tau$ $\Leftrightarrow \boxed{|v_z\lim| = \rm g~\tau}$