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Equations différentielles

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Equations différentielles du premier ordre sans second membre

Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction y dérivable qui s’écrit sous la forme :

y+ay=0a est un nombre réel non nul.

Théorème :

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R par y(x)=keaxk est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer k et la solution sera unique.

Exemple : résoudre l’équation y+2y=0 avec y(0)=3.

Les solutions de l’équation y+2y=0 sont les fonctions définies sur R par y(x)=ke2xk est un nombre réel.

y(0)=ke0=k=3.

L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur R par y(x)=3e2x.

Equations différentielles du premier ordre avec second membre

Une équation différentielle du premier ordre avec second membre (constant) est une équation d’inconnue une fonction y deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme :

y+ay=ba et b sont des nombres réels, a non nul.

Théorème :

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R par y(x)=keax+bak est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer k et la solution sera unique.

Exemple : résoudre l’équation y+2y=10 avec y(0)=3.

Les solutions de l’équation y+2y=10 sont les fonctions définies sur R par y(x)=ke2x+102=ke2x+5k est un nombre réel.

y(0)=ke0+5=k+5=3 donc k=2.

L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur R par y(x)=2e2x+5.

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Équation différentielle de la forme y'=ay
Équation différentielle de la forme y'=ay avec une condition
Équation différentielle de la forme y'=ay+b
Équation différentielle de la forme y'=ay+b avec une condition

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