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Equations différentielles du premier ordre sans second membre

Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = 0$ où $a$ est un nombre réel non nul.

Théorème :

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-ax}$ où $k$ est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $k$ et la solution sera unique.

Exemple : résoudre l’équation $y’ + 2y = 0$ avec $y(0) = 3$ .

Les solutions de l’équation $y’ + 2y = 0$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-2x}$ où $k$ est un nombre réel.

$y(0) = k \mathrm e^0 = k = 3$ .

L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = 3\mathrm e^{-2x}$ .

Equations différentielles du premier ordre avec second membre

Une équation différentielle du premier ordre avec second membre (constant) est une équation d’inconnue une fonction $y$ deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme :

$y’ + ay = b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul.

Théorème :

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-ax} + \dfrac{b}{a}$ où $k$ est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $k$ et la solution sera unique.

Exemple : résoudre l’équation $y’ + 2y = 10$ avec $y(0) = 3$.

Les solutions de l’équation $y’ + 2y = 10$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = k \mathrm e^{-2x} + \dfrac{10}{2} = k \mathrm e^{-2x} + 5$ où $k$ est un nombre réel.

$y(0) = k \mathrm e^0 + 5 = k + 5 = 3$ donc $k = -2$.

L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = -2\mathrm e^{-2x} + 5$.