Fonction exponentielle

Définition

Pour $\rm e\approx 2,718$, on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction exponentielle (de base $\rm e$), qui est notée $x \mapsto \rm e^x$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés algébriques

$\rm e^0 = 1$.

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

• $\mathrm e^{a + b} = \mathrm e^{a} \times \mathrm e^{b}$ ;
• $\mathrm e^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm e^{a}}$ ;
• $\mathrm e^{a - b} = \dfrac{\mathrm e^{a}}{\mathrm e^{b}}$ ;
• ${(\mathrm e^{a})}^{n} = \mathrm e^{n a}$ ($n$ entier relatif).

Dérivée de $\bf e^u$

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\mathrm I$, $e^{u}$ est dérivable sur $\mathrm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u’ \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

En particulier si $u(x) = kx$ ($k$ réel), la fonction $f : x\mapsto \mathrm e^{kx}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f’(x) = k\mathrm e^{kx} = k f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Limites

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$ ; $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = + \infty$.

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Croissances comparées de fonctions

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm e^x}{x^n} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n \mathrm e^{-x} = 0$  pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur la fonction $x \mapsto x^n$, pour tout entier naturel $n$.

Représentation graphique

Equations et inéquations

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$