Définition : Le travail, noté $\rm W_{AB}(\overrightarrow{F})$ d'une force constante $\rm \overrightarrow{F}$, sur un déplacement $\rm AB$ de son point d'application, est le produit scalaire de la force $\bf\overrightarrow{F}$ par le déplacement $\bf \overrightarrow{AB}$.

On écrit ainsi : $\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB}}$ ou $\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{F}) = F \cdot AB \cdot \cos \alpha}$

$\left\{\begin{array}{lll}
\rm W_{AB}(\overrightarrow{F}): \text{Travail de la force } \overrightarrow{F} \text{ en }\\
\text{Joules (J)}\\
\rm \overrightarrow{AB} : \text{vecteur déplacement du point }\\
\text{d'application de la force.}\\
\rm AB \text{ en mètres (m)}\\
\alpha : \text{angle existant entre les vecteurs } \overrightarrow{\rm F}\\
\text{ et } \overrightarrow{\rm AB}, \text{ en ° (degré) ou en}
\text{rad (radian)}\\
\end{array}\right.$

\[\bf W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB} = m\vec g \cdot \overrightarrow{AB}\]

Travail du poids :

$\rm W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB} = m\vec g \cdot \overrightarrow{AB}$ $\rm = mg\cdot AB \cdot \cos (\alpha)$.

Or dans le triangle $\rm OAB$ représenté ci-dessous :

$\displaystyle \rm \cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \Rightarrow AB \cdot \cos(\alpha) = AO$ $= z_{\mathrm A} - z_{\mathrm o}$
$\displaystyle \rm \cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \Rightarrow AB \cdot \cos(\alpha)$ $= z_{\mathrm A} - z_{\mathrm B}$
$\displaystyle \rm \cos(\alpha) = \frac{AO}{AB} \Rightarrow W_{AB}(\overrightarrow{P}) = mg\cdot AB$ $\cdot \cos(\alpha) = \mathrm{mg}(z_{\mathrm A} - z_{\mathrm B})$

Bilan : le travail du poids est défini par la relation suivantes :

\[\boxed{\rm W_{AB}(\overrightarrow{P}) = mg(\mathcal z_A - \mathcal z_B)}\]

Il ne dépend que de la variation d'altitude $z_{\rm A} - z_{\rm B}$ (en mètres).

Travail d'une force de frottement :

Le travail de la force de frottements, sur le chemin $\rm AB$ s'exprime ainsi :

$\mathrm{W_{AB}}(\vec f) = \vec f \cdot \mathrm{\overrightarrow{AB}}\cdot \cos (180°)$ $= -f \cdot \rm AB$

La puissance d'une force est le produit scalaire entre le vecteur-force et le vecteur-vitesse, elle dépend du référentiel choisi :

$\color{black}{\bf P_A(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\mathcal v_{A}}(M)}$

Théorème de l’énergie cinétique : 

\[\displaystyle \rm E_c = \frac{1}{2} \times m \times \mathcal v^2\]

Avec : 

  • La masse m est exprimée en kilogrammes $\rm (kg)$
  • La vitesse $v$ exprimée en mètres par seconde $\rm (m/s)$
  • L'énergie cinétique $\rm E_c$ exprimée en Joules $\rm (J)$

La variation d'énergie cinétique $\rm E_c$ d'un solide entre $\rm A$ et $\rm B$ est liée au travail des forces appliquées entre $\rm A$ et $\rm B$ : c'est le théorème de l'energie cinétique :

$\rm E_{c_B}-E_{c_A} = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm B}^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm A}^2$ $\rm = \Delta E_c = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$ avec $\rm A$ le point de départ et $\rm B$ le point d'arrivée.

On appelle énergie potentielle de pesanteur d'un solide $\rm S$ de masse $\rm m$ situé à l'altitude $z$ la quantité.

$\color{blue}{\boxed{\color{black}{\rm E_{pp} = m.g.z}}}$ avec $\scriptstyle\left\{\begin{array}{lll}\scriptstyle\rm E_{pp} \text{ Energie potentielle de pesanteur en joules (J)}\\ \scriptstyle\text{m Masse du solide en kilogrammes (kg)}\\ \scriptstyle z \text{ Altitude du solide en mètres (m)}\end{array}\right.$

Energie mécanique

L'énergie mécanique, notée $\rm E_m$, d'un corps est la somme de son énergie cinétique $\rm E_c$ et son énergie potentielle de pesanteur $\rm E_{pp}$ :

$\rm E_m = E_c + E_{pp}$