Systèmes oscillants

Soit un point $\rm M$ de masse $\rm m$ accroché à l’extrémité d’un ressort horizontal sans masse. Le point $\rm M$ se déplace sans frottement sur le plan horizontal. A $t = 0$, on écarte ce point de sa position d’équilibre d’une grandeur $x_m$ puis on le lâche sans vitesse initiale. 

Système :  Le point $\rm M$ de masse $m$. 

Référentiel : référentiel terrestre considéré comme galiléen. On prendra une base cartésienne à une dimension : un axe $\mathrm Ox$ horizontal permettra de repérer le point $\rm M$.

Le point $\rm M$ est soumis :

• à son poids, force verticale vers le bas ;
• à la réaction $\rm R$ du support, réaction verticale vers le haut car il n’y a pas de frottement avec le plan horizontal ;
• à la force de rappel du ressort $\rm F_{rappel}$, force horizontale. Cette force est proportionnelle à l’allongement du ressort et à une constante qui caractérise sa raideur et qui s’exprime en $\rm N.m^{-1}$.
  $\mathrm F_{\text{rappel}} = k \times \text{allongement}$

La force de rappel d'un ressort s'écrit :

$\overrightarrow{\rm F}_{\text{rappel}} = k \times \text{allongement}\times \vec{\rm e}_x = - k (\ell - \ell_0)\vec{\rm e}_x$ quel que soit l'état du ressort.

$\Sigma \overrightarrow{\rm F_{ext}} = m \vec a \Rightarrow\rm \vec P + \vec R +\vec F$ $= m \vec a$ projection suivant $\mathrm Ox \Rightarrow - kx = m \overset{¨}x$
                                         $\Leftrightarrow \overset{¨}x + \frac{k}{m}x = 0$
$\overset{¨}x + \omega^2_0x = 0$
$x(t) = \mathrm A \cos(\omega_0t + \varnothing)$ où $\rm A$ et $\varnothing$ sont des constantes déterminées à partir des conditions initiales. $\rm A$ est appelé amplitude et s'exprime en mètre $\rm (m)$ et $\varnothing$ phase à l'origine exprimée en radian $\rm (rad)$.

• A $t = 0$, $x(t = 0) = x_m \Rightarrow \mathrm A \cos \varnothing = x_m$
• On a : $v(t) = -\omega_0 \mathrm A \sin (\omega_0 t + \varnothing)$
  Alors à $t = 0$, $v(t=0) = -\omega_0 \rm A \sin(\varnothing) = 0$.
  $\rm A$ et $\omega_0$ ne peuvent être nuls donc $\sin \varnothing = 0 \Rightarrow \varnothing = 0 [\pi]$
  Et finalement $\mathrm A = x_m$

La solution s'écrit donc : $x(t) = x_m \cos \omega_0 t$

Les oscillations du point $\rm M$ sont sinusoïdales d'amplitude $x_m$ et de période propre : $\displaystyle \mathrm T_0 = \frac{2 \pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.