Utiliser la définition d’un anneau :
(A,+) est un groupe abélien de neutre 0A
× est associative et possède un neutre 1A
× est distributive sur + : pour tous a,b,c∈A, a(b+c)=ab+ac et (b+c)a=ba+ca.
Identifier A comme un produit d’anneaux :
Soient (A1,+,×),…,(An,+,×) des anneaux avec pour éléments neutres 0A1,…,0An et 1A1,…,1An, alors A=A1×…×An (muni des lois définies par (x1,…,xn)+(y1,…,yn) =(x1+y1,…,xn+yn) et (x1,…,xn)×(y1,…,yn) =(x1×y1,…,xn×yn)) est un anneau de neutres 0A=(0A1,…,0An) et 1A=(1A1,…,1An).
Identifier A comme un anneau connu :
(C,+,×), (R,+,×), (Z,+,×) sont des anneaux commutatifs (× est commutative) de neutres 0 et 1.
Identifier A comme le sous-anneau d’un anneau :
Soit B un sous-anneau de (A,+,×) muni des lois + et × définies par restriction des lois sur A.
Alors B est un anneau de mêmes neutres que A.
Remarque :
B, partie de A, est un sous-anneau de A si :
- 1A∈B
- Pour tous x,y∈B, xy∈B
- Pour tous x,y∈B, x−y∈B