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Anneaux et corps

📝 Mini-cours GRATUIT

Méthode 1 : Montrer que (A, +, x), avec A un ensemble et +, x deux lois de composition internes, est un anneau

Utiliser la définition d’un anneau :

(A,+) est un groupe abélien de neutre 0A
× est associative et possède un neutre 1A
× est distributive sur + : pour tous a,b,cA, a(b+c)=ab+ac et (b+c)a=ba+ca.

Identifier A comme un produit d’anneaux :

Soient (A1,+,×),,(An,+,×) des anneaux avec pour éléments neutres 0A1,,0An et 1A1,,1An, alors A=A1××An (muni des lois définies par (x1,,xn)+(y1,,yn) =(x1+y1,,xn+yn) et (x1,,xn)×(y1,,yn) =(x1×y1,,xn×yn)) est un anneau de neutres 0A=(0A1,,0An) et 1A=(1A1,,1An).

Identifier A comme un anneau connu :

(C,+,×), (R,+,×), (Z,+,×) sont des anneaux commutatifs (× est commutative) de neutres 0 et 1.

Identifier A comme le sous-anneau d’un anneau :

Soit B un sous-anneau de (A,+,×) muni des lois + et × définies par restriction des lois sur A.
Alors B est un anneau de mêmes neutres que A.

Remarque :

B, partie de A, est un sous-anneau de A si :

  • 1AB
  • Pour tous x,yB, xyB
  • Pour tous x,yB, xyB

Méthode 2 : Faire des calculs dans un anneau

Si $\bf a$ et $\bf b$ sont deux éléments commutant $\bf{(ab = ba)}$ d’un anneau $\bf A$ :

Pour tout $\rm n\in \mathbb N$, $\rm (ab)^n=a^nb^n$ et $\rm (a+b)^n=\displaystyle\rm \sum_{k=0}^{n}\Big(\begin{array}{l}\rm n\\ \rm k \end{array}\Big)\rm a^kb^{n-k}$.

Formule binome : $\rm (a+b)^n=\displaystyle\rm \sum_{k=0}^{n}\Big(\begin{array}{l}\rm n\\ \rm k \end{array}\Big)\rm a^kb^{n-k}$.

Soit $\bf a$ appartenant à un anneau $\bf{(A, +, \times)}$.

$\rm a$ est inversible s’il existe $\rm b\in A$ tel que $\rm ab=ba=1$.
$\rm b$ est l’unique inverse de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.

Remarque :

L’ensemble $\rm U(A)$ des éléments inversibles de l’anneau $\rm (A,+,\times)$ est un groupe multiplicatif.

Dans un anneau $\bf{(A, +, \times)}$ intègre :

Pour tous $\rm a,b\in A$, $\rm ab=0_A \Leftrightarrow a=0_A \quad \text{ou }\quad b=0_A$.

Remarque :

Un anneau $\rm (A,+,\times)$ est intègre si $\rm A$ est non réduit à $\rm \{0_A\}$ et si $\rm A$ ne possède pas de diviseurs de zéros (on dit que $\rm a,b\in A$ sont des diviseurs de zéros si $\rm ab=0_A$ avec $\rm a,b\neq 0_A$).

Remarque :

$(\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau intègre.

Méthode 3 : Etudier un morphisme d’anneaux φ

Soit $\varphi : \rm A\to A’$ et $\rm (A,+,\times), (A’,+,\times)$ deux anneaux.

Utiliser la définition d’un morphisme :

$\rm\varphi(1_A)=1_{A’}$
Pour tous $x,y \in \rm A$, $\varphi(x + y)=\varphi(x)+\varphi(y)$
Pour tous $x,y \in \rm A$, $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$.

Remarque :

Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme bijectif.

Identifier une composition de morphismes :

Une composition de morphismes d’anneaux est également un morphisme d’anneaux.

Noyau de $\bf{\varphi : \ker \varphi =\varphi^{-1}(\{O_{A’}\})}$

$\varphi$ est injective si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{0_A\}$

Attention, $\rm \ker \varphi$ n’est généralement pas un sous-anneau de $\rm A$.

Image de $\bf{\varphi : Im \varphi =\varphi(A)}$

$\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi= A’$
$\rm Im \varphi$ est un sous-anneau de $\rm A’$.

Méthode 4 : Montrer que (K, +, x) est un corps où (K, + , x) est un anneau

Utiliser la définition d’un corps :

  • $\rm(K,+,\times)$ est commutatif
  • $\rm K$ est non réduit à $\rm\{0_K\}$
  • Tous les éléments de $\rm K$, sauf le nul, sont inversibles.

Identifier $\bf{(K, +, \times)}$ comme un corps connu :

$(\mathbb C, +,\times)$, $(\mathbb R, +,\times)$ sont des corps usuels.

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