Soient $\rm E$ et $\rm F$ des espaces vectoriels.
- On utilise la définition : $f:\rm E \rightarrow F$ est linéaire si $\forall (x,y) \in \rm E^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $f(\lambda x + y ) = \lambda f(x) + f(y)$.
- On utilise le fait qu'une $\rm C.L$ ou la composées d'applications linéaires est encore linéaire.
Par exemple, si on sait que $f$ et $g$ sont linéaires alors : $f-5g + f \circ g$ est aussi linéaire.
- Si $f$ n'envoie pas le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée alors $f$ n'est pas linéaire.
$\rm \mathcal L(E, F)$ l’ensemble des applications linéaires de $\rm E$ vers $\rm F$ est un espace vectoriel.
Si $\rm E$ et $\rm F$ sont de dimension finie, $\rm \dim \mathcal L(E, F)= \dim E\times \dim F$.
On peut aussi déterminer une application linéaire en utilisant une base:
Théorème: Si $(\mathrm e_i)_{i\in \rm I}$ est une base de $\rm E$ et $(f_i)_{i\in \rm I}$ une famille de vecteurs de $\rm F$, alors il existe une unique application $u \in \mathcal L \rm (E,F)$ telle que, pour tout $i \in \rm I$, $u(\mathrm e_i) = f_i$.