Soient E et F des espaces vectoriels.
- On utilise la définition : f:E→F est linéaire si ∀(x,y)∈E2, ∀λ∈K, f(λx+y)=λf(x)+f(y).
- On utilise le fait qu'une C.L ou la composées d'applications linéaires est encore linéaire.
Par exemple, si on sait que f et g sont linéaires alors : f−5g+f∘g est aussi linéaire.
- Si f n'envoie pas le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée alors f n'est pas linéaire.
L(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E vers F est un espace vectoriel.
Si E et F sont de dimension finie, dimL(E,F)=dimE×dimF.
On peut aussi déterminer une application linéaire en utilisant une base:
Théorème: Si (ei)i∈I est une base de E et (fi)i∈I une famille de vecteurs de F, alors il existe une unique application u∈L(E,F) telle que, pour tout i∈I, u(ei)=fi.