Soit $\rm E$ un espace euclidien.
Définition :
- Une base orthogonale de $\rm E$ est une famille orthogonale qui en est une base.
- Une base orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.
Théorème :
Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$ et soit $x\in \rm E$.
- $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)e_k$
- $\|x\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)^2$
Le réel $(x|\mathrm e_k)$ est la coordonnée de $x$ par rapport à $\mathrm e_k$ dans la base $(\mathrm e_1,\ldots,\mathrm e_n)$.
Théorème :
Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$. Si $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k} \mathrm e_k$ et $y=\displaystyle\sum_{k=1}^n y_{k} \mathrm e_k$, le produit scalaire se calcule avec la formule :
$(x|y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{\rm k} y_{k}$