Matrice rectangulaire
Une matrice de taille $\rm n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$ est un tableau à $\rm n$ lignes et $\rm p$ colonnes d'éléments appartenant à ${\Bbb K}$.
Une matrice de taille $\rm n \times p$ se note $\rm A=(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$ ou de façon "développée":
$\rm A=\left(\begin{array}{ccccc}
\rm a_{1,1} & & \ldots & & \rm a_{1,p}\\
& & & & \\
\vdots & & \rm a_{i,j} & & \vdots \\
& & & & \\
\rm a_{n,1} & & \ldots & & \rm a_{n,p}
\end{array}\right)$.
$\rm a_{i,j}\in {\Bbb K}$ désigne le coefficient de la matrice $\rm A$ situé à la ligne $\rm i$ et la colonne $\rm j$.
$\rm M_{n,p}({\Bbb K})$ désigne l'ensemble des matrices de taille $\rm n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$.
Opérations
- Produit par un scalaire :
Le produit d’une matrice $\rm A=(a_{i,j})$ par le nombre $\lambda$, réel non nul, est la matrice de même format $\rm \lambda A=(\lambda a_{i,j})$.
- Somme :
La somme de deux matrices de même format $\rm A=(a_{i,j})$ et $\rm B=(b_{i,j})$ est définie par une matrice de même format $\rm (a_{i,j}+b_{i,j})$.
- Matrices particulières :
La matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.
La matrice identité est une matrice qui n’a que des $1$ sur la diagonale et des $0$ partout ailleurs.
Par exemple, pour une matrice carrée $\rm A$ d’ordre $\rm n$, la matrice identité d’ordre $\rm n$ $\rm I_n$ vérifie $\rm A\times I_n=I_n\times A=A$.
Multiplication matricielle
Soit $\rm A = (a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$ un élément de $\rm M_{n,p}({\Bbb K})$.
Soit $\rm B = (b_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq p}{_{1 \leq j \leq q}}}$ un élément de $\rm M_{p,q}({\Bbb K})$.
On définit $\rm C=A \times B$ de la façon suivante :
$\rm C \in M_{n,q}({\Bbb K})$ autrement dit $\rm C$ est une matrice de taille $\rm n \times q$. Les coefficients de la matrice $\rm C$ sont définies par :
$\rm \forall (i,j) \in\left\{1,\ldots,n\right\}\times\left\{1,\ldots,q\right\} c_{i,j}$ $\rm =\sum_{k = 1}^{p}a_{i, k}b_{k, j}$ $\rm = a_{i, 1}b_{1, j} + a_{i, 2}b_{2, j} + \ldots + a_{i, p}b_{p, j}$.
Pour se rappeler de cette formule, on dispose la matrice $\rm A$ en bas à gauche et la matrice $\rm B$ en haut à droite.
Le coefficient $\rm c_{i,j}$ est situé à l'intersection de la ligne $\rm i$ de la matrice $\rm A$ et de la colonne $\rm j$ de la matrice $\rm B$. Pour se remémorer la formule, il faut prendre les coefficients de la matrice $\rm A$ qui sont sur la même ligne que $\rm c_{i,j}$ et les coefficients de la matrice $\rm B$ qui sont sur la même colonne que $\rm c_{i,j}$.
Par ailleurs la taille de la matrice $\rm C$ est imposée par la disposition ci-dessus.
En effet, on observe que le nombre de lignes de la matrice $\rm C$ est égal au nombre de lignes de la matrice $\rm A$ et le nombre de colonnes de la matrice $\rm C$ est égal au nombre de colonnes de la matrice $\rm B$.
Exemple :
Soient $\rm A=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right)$
et
$\rm B=\left(\begin{array}{rrrr}
3 & 2 & -1 & 2 \\
5 & 2 & 0 & -1
\end{array}\right)$.
Il n'est pas possible de calculer $\rm B \times A$ car le nombre de colonnes de $\rm B$ n'est pas égal au nombre de lignes de $\rm A$.
Il est possible de calculer $\rm A \times B$ car $(3 \times 2) \times (2 \times 4) \rightarrow 3 \times 4$.
On obtient :
$\rm A \times B =\left(\begin{array}{cccc}
11 & 6 & -2 & 3\\
5 & 2 & 0 & -1 \\
14 & 8 & -3 & 5
\end{array}\right)$.