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Équations complexes

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Méthode 1 : Déterminer les racines carrées d’un nombre complexe

Voici la méthode pour chercher les racines carrées d'un nombre complexe.

Soit A=a+ib un nombre complexe. On cherche z=x+iy tel que z2=A.

On a z2=A (x+iy)2=a+ib x2y2+2ixy=a+ib.

On obtient un système de deux équations à deux inconnues :

{x2y2=a2xy=b

Pour faciliter la résolution, on ajoute une troisième équation z2=A|z2|=|A|. Or |z2|=|z|2=x2+y2 et |A|=a2+b2.

On obtient donc un système 3 d'équations à 2 inconnues :

{x2y2=a(1)x2+y2=a2+b2(2)2xy=b(3)
(1)+(2) donne x.

(2)(1) donne y. Cela va fournir 4 couples (x,y) possibles. Mais l'équation (3) indique si x et y sont de même signe ou de signe contraire.

Remarque 1 : on doit toujours obtenir deux racines carrées, la deuxième étant opposée à la première.

Remarque 2 : si A est un nombre réel négatif, il est inutile d'utiliser cette méthode. Les racines carrés de A sont alors ±iA.

Exemple :

Cherchons les racines carrées du nombre A=34i.

On cherche donc z=x+iy tel que z2=A.

z2=a(x+iy)2=A x2y2+2xyi=34i {x2y2=32xy=4
L'utilisation du module va fournir une 3ème équation.

z2=A|z2|=|A|.
Or |z2|=|z|2=x2+y2 et |A|=9+16=5. On a donc le système d'équations :

{x2y2=3(1)x2+y2=5(2)signe(xy)=négatif
En additionnant (1) et (2), on obtient: 2x2=8 soit x2=4 soit x=±2.

En soustrayant (2) et (1), on obtient: 2y2=2 soit y2=1 soit y=±1.

Comme le signe de x et y sont différents, on a (x=2 ET y=1) OU (x=2 ET y=1).

Les racines carrées de 34i sont donc z=2i et z=2+i.

Vérification : (2i)2=44i+i2=34i.

Méthode 2 : Résolution des équations du second degré dans ℂ

Théorème : Soient $a,b,c\in\mathbb C$ avec $a\neq 0$.

L’équation $az^2+bz+c=0$ d’inconnue $z\in\mathbb C$ a pour solution $\displaystyle\frac{-b-\delta}{2a}$ et $\displaystyle\frac{-b+\delta}{2a}$ où $\delta$ est une racine carrée du discriminant $b^2-4ac$.

Propriétés : La somme des solutions de l’équation $az^2+bz+c=0$ vaut $\displaystyle\frac{-b}{a}$.
Le produit des solutions de l’équation $az^2+bz+c=0$ vaut $\displaystyle\frac{c}{a}$.

Méthode 3 : Déterminer les racines n-èmes d’un nombre complexe

Définition : soit $z$ un complexe non nul. Soit $n$ un entier naturel non nul. Une racine $n$-ème de $z$ est un nombre complexe $u$ tel que $u^n=z$. 

Théorème : Tout nombre complexe non nul $z$ admet exactement $n$ racines $n$-èmes.

Attention, on ne peut écrire $ u=\sqrt[n]{z}$ que si $z\in\mathbb R^+$ !

Définition : Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle racine $n$-ième de l'unité, un nombre complexe $z$ tel que $z^n=1$.

Elles s'écrivent : $\displaystyle \mathrm e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ avec $k=0,\ldots,n-1$.

On note $ \mathbb U_n$ l’ensemble des racines $n$-èmes de l’unité.

Propriété : La somme des $n$ racines $n$-èmes de l’unité est égale à $0$.

Méthode pour déterminer toutes les racines $n$-èmes complexes de $z$. 

  • $\rm 1^{ère}$ étape : on écrit $z$ sous forme exponentielle $z = \mathrm{Re}^{i\varphi}$.
  • $\rm 2^{ème}$ étape : on cherche une racine $n$-ème particulière de $z$ à l'aide de la formule
    $u_0= \mathrm R^{\frac{1}{n}}\mathrm e^{\frac{i\varphi}{n}}$.
  • $\rm 3^{ème}$ étape : on obtient toutes les racines $n$-èmes de $z$ en multipliant la racine particulière $u_0$ par les $n$ racines $n$-èmes de l'unité $\omega_k = e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ soit $u_ k = u_0 \omega_k$ avec $k=0,\ldots,n-1$. 

Exemple : calculons les racines cubiques de $z=1+i$.

  • $\rm 1^{ère}$ étape : on a $z=\sqrt{2}\mathrm e^{\frac{i\pi}{4}}$. 
  • $\rm 2^{ème}$ étape : on cherche une racine cubique $u_0$ particulière.
    On prend $u_0 = \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}}$.
  • $\rm 3^{ème}$ étape : pour obtenir toutes les racines cubiques de $z$, on multiplie $u_0$ par les racines cubiques de l'unité: $1,j,j^2$. On obtient alors :
    $1\times u_0=u_0= 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}}$.

$j\times u_0 = \mathrm e^{\frac{2i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{3i\pi}{4}}$.

$j^2\times u_0 = \mathrm e^{\frac{4i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{17i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{-\frac{7i\pi}{12}}$.

Remarque : lorsqu'on relie les points d'affixe les racines $n$-èmes, on doit obtenir un polygone régulier (c'est-à-dire tous les côtés ont la même longueur) inscrit dans le cercle de centre l'origine et de rayon $\mathrm R^{\frac{1}{n}}$.

Exemple : $\mathbb U_3=\{1 ~;j ~;j^2\}$ est l’ensemble des sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.

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