Voici la méthode pour chercher les racines carrées d'un nombre complexe.
Soit A=a+ib un nombre complexe. On cherche z=x+iy tel que z2=A.
On a z2=A⟺ (x+iy)2=a+ib ⟺x2−y2+2ixy=a+ib.
On obtient un système de deux équations à deux inconnues :
{x2−y2=a2xy=b
Pour faciliter la résolution, on ajoute une troisième équation z2=A⇒|z2|=|A|. Or |z2|=|z|2=x2+y2 et |A|=√a2+b2.
On obtient donc un système 3 d'équations à 2 inconnues :
{x2−y2=a(1)x2+y2=√a2+b2(2)2xy=b(3)
(1)+(2) donne x.
(2)−(1) donne y. Cela va fournir 4 couples (x,y) possibles. Mais l'équation (3) indique si x et y sont de même signe ou de signe contraire.
Remarque 1 : on doit toujours obtenir deux racines carrées, la deuxième étant opposée à la première.
Remarque 2 : si A est un nombre réel négatif, il est inutile d'utiliser cette méthode. Les racines carrés de A sont alors ±i√−A.
Exemple :
Cherchons les racines carrées du nombre A=3−4i.
On cherche donc z=x+iy tel que z2=A.
z2=a⟺(x+iy)2=A ⟺x2−y2+2xyi=3−4i ⟺{x2−y2=32xy=−4
L'utilisation du module va fournir une 3ème équation.
z2=A⟹|z2|=|A|.
Or |z2|=|z|2=x2+y2 et |A|=√9+16=5. On a donc le système d'équations :
{x2−y2=3(1)x2+y2=5(2)signe(xy)=négatif
En additionnant (1) et (2), on obtient: 2x2=8 soit x2=4 soit x=±2.
En soustrayant (2) et (1), on obtient: 2y2=2 soit y2=1 soit y=±1.
Comme le signe de x et y sont différents, on a (x=2 ET y=−1) OU (x=−2 ET y=1).
Les racines carrées de 3−4i sont donc z=2−i et z=−2+i.
Vérification : (2−i)2=4−4i+i2=3−4i.