Équivalents et dominations

On considère deux fonctions $f$ et $g$ qui ne s’annulent pas sur un voisinage de $a$.

Définition : $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ et on note $f(x)=o_{x\to a}(g(x))$ si $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$

Croissances comparées : Soient $\alpha, \beta, \gamma$ des réels strictement positifs.

En $0^+$, $|\ln^{\beta}(x)|=o\left(\dfrac{1}{x^{\alpha}}\right)$.

En $+\infty$, $(\ln(x))^{\beta}=o(x^{\alpha})$, $x^{\alpha}=o(e^{\beta x})$.

Retenir l’idée que : en $+\infty$, l’exponentielle l’emporte sur les fonctions puissance et les fonctions puissance l’emportent sur le logarithme.

Propriétés :

• Si $f=o(g)$ et $g=o(h)$, alors $f=o(h)$.
• Si $f_1=o(g)$ et $f_2=o(g)$ alors $f_1+f_2=o(g)$.
• Si $f_1=o(g_1)$ et $f_2=o(g_2)$ alors $f_1f_2=o(g_1g_2)$

Définition : $f$ est équivalente à $g$ en un point $a$ et on note $f(x)\sim_{x\to a}(g(x))$ si $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

En pratique, on utilisera souvent la propriété suivante :

$f(x)\sim (g(x)) \Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(g(x))$.

Propriété : si $f$ est équivalente à $g$, $g$ est alors équivalente à $f$. Autrement dit $f$ et $g$ sont équivalentes.

Propriété : si les fonctions réelles $f , g , h$ vérifient $f\leq g \leq h$ et si $f (x) \sim_{x\to a} h(x)$, alors $g (x) \sim_{x\to a} f(x)$.

Définition : $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ et on note $u_n = {\rm o}(v_n)$ si$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =0}$.

Définition : $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ et on note $u_n \sim v_n$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =1}$.

Équivalent de référence : si$(a_n)$ est suite qui CV vers $0$ alors $\ln(1+a_n) \sim a_n$, $\displaystyle \sin(a_n) \sim a_n$, $1- \cos(a_n) \sim \dfrac{a_n^2}{2}$, $\mathrm e^{a_n} -1 \sim a_n$,$\tan(a_n) \sim a_n$, $(1+a_n)^{\alpha}-1 \sim \alpha a_n$.

Théorème : si $u_n = v_n + \alpha_n + \beta_n + \ldots + \gamma_n$ et si les suites $(\alpha_n)$, $(\beta_n)$, $\ldots$, $(\gamma_n)$ sont négligeables devant $v_n$ alors $u_n \sim v_n$.

Échelle de comparaison : les suites logarithmiques $(\ln^{\gamma})$ avec $\gamma>0$ sont négligeables devant les suites puissances $(n^{\alpha})$ avec $\alpha>0$. $n^{\alpha}$ est négligeable devant $n^{\beta}$ dès que $0< \alpha < \beta$.

Propriété : Formule de Stirling : $ n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}\mathrm e^{-n}n^n$