Espaces de dimension finie

C.L. = combinaison linéaire

a) Famille liée

Soit $\rm {\mathcal F}=(u_1,\ldots,u_n)$ une famille de vecteurs de $\rm E$.

La famille $\mathcal F$ est liée dans $\rm E$ (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement dépendants dans $\rm E$ s'il existe $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n\backslash\{(0,\ldots,0)\}$ tel que $\lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n.u_n = \rm 0_E$.

$(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n\backslash\{(0,\ldots,0)\}$ signifie qu' il existe au moins un indice $\rm i \in \{1,\ldots,n\}$ tel que $\lambda_i \neq 0$.

Exemple : On considère dans $\rm E={\Bbb R}^3$ les vecteurs $u_1=(1,0,-1)$, $u_2=(1,-2,3)$ et $u_3=(1,2,-5)$.

La famille $(u_1,u_2,u_3)$ est liée dans ${\Bbb R}^3$ car on observe que $2u_1-u_2-u_3=0_{{\Bbb K}^3}$.

Théorème : une famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs s'exprime comme une $\rm C.L$ des autres.

b) Famille libre

Définition : Soit ${\mathcal F} =(u_1,\ldots,u_n)$ une famille de vecteurs de $\rm E$.

${\mathcal F}$ est libre dans $\rm E$ si la famille n'est pas liée.

Cela revient à dire, ${\mathcal F}$ est libre dans $\rm E$ (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants dans $\rm E$) si $\forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n$ : $\lambda_1 \cdot u_1 + \ldots + \lambda_n \cdot u_n = \rm 0_E$ $\Longrightarrow$ $(\lambda_1 =0, \lambda_2 =0, \ldots, \lambda_n = 0)$.

Exemple :

On considère $\rm E={\Bbb R}^3$ muni de sa structure canonique d'$\rm ev$.

Soient $u_1=(2,1,5)$, $u_2=(-1,1,-1)$ et $u_3=(1,1,3)$.

Soient $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in {\Bbb R}^3$ tel que $\lambda_1\cdot u_1 + \lambda_2\cdot u_2 + \lambda_3\cdot u_3 = \rm 0_E$.

On obtient le système :

$\left\{\begin{array}{rrrrrrr} 2\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\ \lambda_1 & + & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\ 5\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & 3\cdot \lambda_3 & = & 0 \end{array}\right.$.

On utilise la méthode du pivot de Gauss.

$\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 3 \end{array}\right)$.

On effectue les opérations suivantes :

$\displaystyle \rm L_2 \leftarrow L_2 - \frac{1}{2}L1$ et $\displaystyle \rm L_3 \leftarrow L_3 - \frac{5}{2}L1$.

$\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ & & \\ 0 & \displaystyle \frac{3}{2} & \displaystyle \frac{1}{2} \\ & & \\ 0 & \displaystyle \frac{3}{2} & \displaystyle \frac{1}{2} \end{array}\right)$.

On revient au système :

$\left\{\begin{array}{lllll} 2\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\ & & 3\cdot \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\ \end{array}\right.$.

On peut exprimer les solutions en fonction de $\lambda_2$ par exemple.

$\lambda_3 = -3\cdot \lambda_2$ et $2\cdot \lambda_1 = \lambda_2 - \lambda_3 = 4\cdot \lambda_2$. Donc $\lambda_1 = 2\cdot \lambda_2$.

Les solutions du système sont$\left\{(2\cdot \lambda_2,\lambda_2,-3\cdot \lambda_2) \mid \lambda_2 \in {\Bbb R}\right\} = {\rm vect}((2,1,-3))$.

En choisissant par exemple $\lambda_2 = 1$, on obtient la solution $(2,1,-3)$.

Cela signifie qu'on a la relation linéaire: $2\cdot u_1 + u_2 -3\cdot u_3 = 0_E$

Donc la famille est liée.

À retenir :

Montrer que la famille ${\mathcal F} = \left(u_i\right)_{1\leq i \leq n}$ est libre est équivalent à montrer que le système linéaire $\lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n = \rm 0_E$ d'inconnues $\lambda_i$ n'admet que la solution nulle comme solution.

Attention : $n$ vecteurs libres ne signifient pas $2$ à $2$ non colinéaires.

Exemple : $a=(1,0)$, $b=(0,1)$ et $c=a+b=(1,1)$ dans ${\Bbb R}^2$. Les vecteurs $a$, $b$ et $c$ sont deux à deux non colinéaires mais pourtant la famille $(a,b,c)$ est liée.

c) Famille génératrice

Soit la famille ${\mathcal F}=(u_1,\ldots,u_n)$ de vecteurs de l'espace vectoriel $\rm E$.

La famille ${\mathcal F}$ est une famille génératrice de $\rm E$ si $\rm vect({\mathcal F})=E$.

On dit dans ce cas que la famille ${\mathcal F}$ engendre $\rm E$.

Comme on a toujours $\rm vect({\mathcal F}) \subset E$, on a la définition équivalente suivante :

Définition équivalente :

La famille ${\mathcal F}$ est une famille génératrice de $\rm E$ si pour tout vecteur $\rm u$ de $\rm E$ il existe $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n$ tels que $u = \lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n$.

d) Base

Définition d'une base : une base d'un $\rm ev$ ou un $\rm sev$ est une famille qui est à la fois libre et génératrice.

Théorème : caractérisation d'une base.

${\mathcal B}=(u_1, \ldots, u_n)$ est une base de $\rm E \iff$ pour tout vecteur $u$ de $\rm E$ il existe un unique $n$-uplet $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ de ${\Bbb K}^n$ tel que $u = \lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n$.

Le $n$-uplet $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ s'appelle les coordonnées du vecteur $u$ dans la base ${\mathcal B}$.

Définition : Un espace vectoriel est dit de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie.

Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice, on peut extraire une base finie.

Théorème de la base incomplète : Soit $\rm E$ espace vectoriel de dimension finie. Toute famille libre de $\rm E$ peut être complétée en une base de $\rm E$.

Théorème/définition : Si $\rm E$ est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les bases de $\rm E$ ont le même nombre d'éléments (le même cardinal), c’est la dimension de $\rm E$, noté $\rm dim(E)$.

Remarque : Si $\rm dim(E)=1$, $\rm E$ est une droite vectorielle. Si $\rm \dim(E)=2$, $\rm E$ est un plan vectoriel.

Théorème : Soit $\rm F$ un $\rm sev$ de dimension $\rm n$ et soit ${\mathcal B}$ une famille de $\rm F$.

• Si ${\mathcal B}$ est une famille de cardinal $\rm n$ libre alors ${\mathcal B}$ est une base de $\rm F$.
• Si ${\mathcal B}$ est une famille de cardinal $\rm n$ génératrice alors ${\mathcal B}$ est une base de $\rm F$.

Théorème : Si $\rm E$ est un espace vectoriel de dimension finie et si $\rm F$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$, alors $\rm F$ est de dimension finie et $\rm dim(F)\leq dim(E)$.

On a également $\rm dim(F)=dim(E)\Leftrightarrow F=E$.

Formule des dimensions : Soit $\rm F$ et $\rm G$ des $\rm sev$ de $\rm E$ de dimension finie. On a alors la formule dite des dimensions ou de Grassmann : $\rm \dim(F+G)$ $\rm = \dim(F)+\dim(G) - \dim(F \cap G)$.

En particulier, si $\rm F$ et $\rm G$ sont en somme directe, on a $\rm \dim(F\oplus G) = \dim(F)+\dim(G)$.

Propriété: Si $\rm E$ et $\rm F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie, $\rm dim(E\times F)=dim(E)+dim(F)$.

Définition: Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une famille finie de $\rm E$, on appelle rang de $(x_1,\ldots,x_n)$ la dimension de $\mathrm{F=Vect}(x_1,\ldots,x_n)$, noté $\mathrm{rg}(x_1,\ldots,x_n)$.

Exemples à connaître: Soient $n,p\in\mathbb N^*$.

• Si on pose $\rm e_1= (1,0,\ldots,0), e_2$ $\rm = (0,1,0,\ldots,0), \ldots, e_n= (0,\ldots,0,1)$, la famille $\rm (e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $\mathrm K^n$ appelée base canonique.
  $\dim(\mathbb K^n)=n$.
• La famille $\rm (1,X,X^2,\ldots,X^n)$ est une base de $\mathbb K_n[\rm X]$ appelée base canonique.
  $\dim(\mathbb K_n[\mathrm X])=n+1$
• Pour tous $i\in [|1 ~;n|]$ et $j\in [|1~ ;p|]$, si on note $\mathrm E_{i,j}$ la matrice de $\mathrm M_{n,p}(\mathbb K)$ dont les coefficients sont nuls sauf le coefficient en $(i,j)$, qui est égal à $1$, la famille $(\mathrm E_{i,j})_{1\leq i\leq n~ ; 1\leq j\leq p}$ est une base de $\mathrm M_{n,p}(\mathbb K)$ appelée base canonique.
  $\dim(\mathrm M_{n,p}(\mathbb K))=np$

Attention, $\rm \mathbb K[X]$ est de dimension infinie ! La famille $(\mathrm X^k)_{k\in\mathbb N}$ est une base de $\rm K[X]$ appelée base canonique.