Fonctions de deux variables

On munit $\mathbb R^2$ de la norme euclidienne canonique : pour $x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2$, $||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$.

Définition : La boule ouverte de centre $\omega$ et de rayon $r$ pour la norme euclidienne est l’ensemble des $x$ vérifiant $\| x-\omega \| < r$. On la note $\mathrm B(\omega,r)$.

Définition : Un ensemble $\Omega$ est un ouvert si, pour tout point $x\in \Omega$, on peut trouver une boule ouverte de centre $x$, incluse dans l’ensemble $\Omega$.

Remarque : Une boule ouverte est un ouvert.

→ On considère dans la suite $\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^2$.

Définition :

Une fonction $f$ définie sur $\Omega \subset \mathbb R^2$ à valeurs dans $\mathbb R$ par $(x,y)\to f(x,y)$ est une fonction à 2 variables.

Exemple : $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ définie par $f(x,y)=xy+x^2-y$.

Définition :

Une fonction $f$, définie sur $\mathbb R^2$, est continue au point $x_0$ de $\mathbb R^2$ si : $\forall \epsilon>0$, il existe $\alpha>0$ , $\forall x\in\mathbb R^2$, $||x-x_0||\leq\alpha$ $\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\leq\epsilon$.

$f$ est continue sur $\mathbb R^2$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\mathbb R^2$.

Exemple : Les fonctions polynômiales de 2 variables sont continues sur $\mathbb R^2$.

Définition : Soit $f : (x, y)\to f(x, y)$ à deux variables définies sur $\Omega$, à valeurs dans $\mathbb R$, les applications partielles associées sont les deux fonctions à une variable $f_x : x\to f(x, y)$ et $f_y : y\to f(x, y)$.

Les dérivées partielles de $f$ sont les dérivées de ses application partielles.

On note $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) $ la dérivée de $f_x$ en $(x_0,y_0)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ la dérivée de $f_y$ en $(x_0,y_0)$.

Définition :

Soit $f : \Omega\to \mathbb R$.
$f$ est de classe $\rm C^1$ si ses dérivées partielles existent et sont continues.

Exemple : Les fonctions polynomiales de 2 variables sont des fonctions de classe $\rm C^1$ sur $\mathbb R^2$.

Théorème : Soit $f$ fonction de deux variables de classe $\rm C^1$.

Il existe un unique développement limité à l’ordre 1 de $f$ au point $(x_0,y_0)$:

$f (x_0 +h, y_0 +k) = f (x_0, y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0)h + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)k +o||(h,k)||$

Définition: Soit $f$ fonction de deux variables de classe $\rm C^1$.

Le gradient de $f$ en $(x_0,y_0)$ est le vecteur: $\nabla(f)(x_0,y_0)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0), \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)\right)$.

Le gradient de $f$ en $(x_0, y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite.

$(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$ si $\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0 \end{array}\right.$.

De manière équivalente, $(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$ si $\nabla(f)(x_0,y_0)=(0,0)$.

Théorème : Si une fonction $f$ admet un minimum ou un maximum local en un point $(x_0, y_0)$, alors ce point est un point critique.

Attention, la réciproque n’est pas toujours vraie.

En pratique, les extrema d’une fonction à deux variables de classe $\rm C^1$ se recherchent donc parmi les points critiques.

Théorème : «Règle de la chaîne»

Soit une fonction $g$ définie par $ g:(x,y)\to f(u(x,y),v(x,y))$ avec $f, u, v$ des fonctions de classe $\rm C^1$.

$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ \displaystyle\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right.$