Forme trigonométrique et exponentielle complexe

Pour tout $\theta \in\mathbb R$, on définit : $\mathrm e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

Formule de Moivre : pour tout $n\in\mathbb Z$, pour tout $\theta \in \mathbb R$, $\mathrm e^{in\theta}=(\mathrm e^{i\theta})^n$ c’est-à-dire $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n$.

Formules d’Euler :

$\cos(\theta)=\displaystyle\frac{\mathrm e^{i\theta}+\mathrm e^{-i\theta}}{2}$
$\sin(\theta)=\displaystyle\frac{\mathrm e^{i\theta}-\mathrm e^{-i\theta}}{2i}$

Technique de l’angle moitié : on peut factoriser par l’angle moitié puis utiliser les formules d’Euler.

Exemple :

$\mathrm e^{ip}+\mathrm e^{iq}=2\mathrm e^{i\frac{p+q}{2}}\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\mathrm e^{ip}-\mathrm e^{iq}=2i\mathrm e^{i\frac{p+q}{2}}\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

Soit $\mathbb U=\{z\in\mathbb C/|z|=1\}$.

$\mathbb U$ est le cercle trigonométrique de centre 0 et de rayon 1 (cercle unité).

On peut aussi paramétrer $\mathbb U$ avec l’exponentielle : $\mathbb U=\{\mathrm e^{i\theta}/\theta\in \mathbb R\}$.

Définition et théorème : tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme dite exponentielle $z = \rho \mathrm e^{i\theta}$ avec $\theta$ un réel appelé un argument de $z$ et $\rho$ un réel strictement positif égal au module de $z$. 

Remarque : $\rho$ est unique mais $\theta$ n'est défini que modulo $2\pi$ ce qui veut dire que si $\theta$ est un argument de $z$ alors $\theta + 2k\pi$ avec $k$ un entier relatif est encore un argument.

La forme trigonométrique de $z$ s’écrit aussi : $z=\rho (cos(\theta)+i\sin(\theta))$.

Si le nombre est particulier, il faut placer mentalement le nombre dans le plan complexe.

Par exemple, $z=5$ est sur l'axe réel positif donc un argument est $0$ et son module est $5$ donc $z = 5\mathrm e^{i0}$.

$z=-3$ est sur l'axe réel négatif donc un argument est $\pi$ et son module est $3$ donc $z = 3\mathrm e^{i\pi}$.

$z=-13i$ est sur l'axe imaginaire négatif donc un argument est $\displaystyle{-\frac{\pi}{2}}$ $\left(\text{ou } \displaystyle{\frac{3\pi}{2}}\right)$ et son module est $13$ donc $\displaystyle{z = 13 \mathrm e^{-i\frac{\pi}{2}}}$.

Propriétés : En notant $\mbox{arg}(z)$ l’argument du complexe $z$, on a  pour $z, z’$ des nombres complexes :
$\mbox{arg}(z\times z’)=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z’) [2\pi]$

$\mbox{arg}\left(z^n\right)=n \cdot\mbox{arg}(z)[2\pi]$

$\mbox{arg}\left(\dfrac{z}{ z’}\right)=\mbox{arg}(z)-\mbox{arg}(z’) [2\pi]$

Dans la forme algébrique de $z=a+ib$, on met le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ en facteur :

$\displaystyle{z = \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + i\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}$.

Puis on cherche un angle $\theta$ tel que $\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ et $\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Exemple :

Mettre sous forme exponentielle: $z=3-3.i$. 

a) On calcule le module : $|z| = |3-3.i| = 3|1-i| = 3\sqrt{1^2+(-1)^2} = 3\sqrt{2}$.
b) on factorise par le module et on reconnaît un angle : 

$\displaystyle{ z = 3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
         = 3\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\
 = 3\sqrt{2}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) +
        i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]}$

c) on écrit la forme exponentielle de $z$ :
$\displaystyle{z = 3\sqrt{2}\mathrm e^{-i\frac{\pi}{4}}}$

Pour calculer la puissance entière d’un nombre complexe, il est plus facile d’utiliser sa forme exponentielle.

Calculer $(3-3i)^{2011}$.

D'après la forme exponentielle de $3-3i$, 

$\displaystyle{(3-3i)^{2011} = \left(3\sqrt{2}\mathrm e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{2011} = (3\sqrt{2})^{2011}\mathrm e^{-i2011\frac{\pi}{4}}}$ (on a utilisé la formule de Moivre).

Remarque : $(3\sqrt{2})^{2011} = 3^{2011}\sqrt{2}^{2010}\sqrt{2} = 3^{2011}2^{1005}\sqrt{2}$.

Simplification de $\mathrm e^{-i2011\frac{\pi}{4}}$.

La division euclidienne de $2011$ par $8$ est $2011 = 251 \times 8 + 3$.

Donc $\displaystyle{\frac{2011}{4} = 251\times2 + \frac{3}{4}}$ donc $\displaystyle{\frac{2011}{4}\pi =251\times 2\pi + \frac{3}{4}\pi}$.

Donc $\displaystyle{(3-3i)^{2011} = 3^{2011}2^{1005}\sqrt{2}\mathrm e^{-i\frac{3}{4}\pi} = 3^{2011}2^{1005}\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$.

Donc $\displaystyle{(3-3i)^{2011} = -3^{2011}2^{1005}(1+i)}$.

Définition : On définit l’exponentielle complexe du nombre complexe $z$ par $\mathrm e^z=\exp(z)=\mathrm e^{\mbox{Re}(z)}\mathrm e^{i\mbox{Im}(z)}$.

Le module de $\mathrm e^z$ vaut $\mathrm e^{\mbox{Re}(z)}$ et l’argument de $\mathrm e^z$ vaut $\mbox{Im}(z)$ .

Propriété : Pour tous $z, z’$ dans $\mathbb C$, $\mathrm e^z=\mathrm e^{z’}$ si et seulement si $z-z’=2i\pi\mathbb Z$.

Résolution de l’équation $\mathrm e^{z}=a$  (avec $a\neq 0$) :

$z=\ln(|a|)+i\theta [2i\pi]$  où $\theta=\mbox{arg}(a)$.