Groupes

Utiliser la définition d’un groupe :

$\star$ est associative : pour tous $\rm a, b, c \in G$, $\rm (a \star b) \star c= a \star (b \star c)$

$\star$ possède un élément neutre unique : il existe $\rm e\in G$, tel que pour tout $\rm a\in G$, $\rm a \star e = a = e \star a$

Tout élément de $\rm G$ est inversible par $\star$ : pour tout $\rm a \in G$, il existe $\rm b \in G$ tel que $\rm a \star b= e =b \star a$. $\rm b$ est unique et appelé inverse de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.

Identifier $\bf G$ comme un produit de groupes :

Soient $\rm (G_1,\star_1),\ldots,(G_n,\star_n)$ des groupes avec pour éléments neutres $\rm e_1,\ldots,e_n$, alors $\rm G=G_1 \times \ldots \times G_n$ muni de la loi produit $\star$ (définie par $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) \star (y_1,\ldots,y_\mathrm n)$ $=(x_1\star y_1,\ldots,x_\mathrm n\star y_\mathrm n))$ est un groupe de neutre $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$.

Identifier $\bf G$ comme un groupe connu :

Les groupes $(\mathbb C,+)$, $(\mathbb R, +)$, $(\mathbb Z, +)$ sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre $0$.
Les groupes $(\mathbb C^*,\times)$, $(\mathbb R^*,\times)$ sont des groupes abéliens de neutre $1$.

Remarque : Un groupe $\rm G$ est commutatif, c’est-à-dire abélien, si la loi de composition $\star$ est commutative, donc si pour tous $a,b\in \rm G$, $a\star b=b\star a$.

Identifier $\bf G$ comme le sous-groupe d’un groupe :

Soit $\rm (H,\star)$ un groupe.
Si $\rm G$ est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$, alors $\rm (G,\star)$ est un groupe de même neutre.

Remarque :

$\rm G$, partie de $\rm H$, est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$ si :

• $\rm e\in G$
• Pour tous $x,y \in \rm G$, $x\star y^{-1}\in \rm G$ ($\rm G$ est stable par passage au produit et par passage à l’inverse).

Remarque :

Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $\rm n\mathbb Z$ avec $\rm n\in \mathbb N$.

Utiliser la définition d’un morphisme :

Pour tous $x,y \in \rm G$, $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\mathrm T\varphi(y)$.

Remarques :

Un morphisme d’un groupe vers lui-même est appelé endomorphisme.
Un isomorphisme de groupes est un morphisme bijectif.

Identifier une composition de morphismes :

Soient $\varphi : \rm G\to G’$ et $\psi : \rm G’\to G’’$ deux morphismes de groupes.
Alors $\psi \circ \varphi : \rm G \to G''$ est un morphisme de groupes.

Identifier des morphismes connus :

• La fonction $\ln$ est un morphisme de $(\mathbb R^{+*},\times)$ vers $(\mathbb R,+)$
• Le déterminant est un morphisme de $\rm(GL_n(\mathbb K),\times)$ vers $(\mathbb K^*,\times)$

Soit $\varphi : \rm (G,\star)\to (G’,T)$ un morphisme de groupes.

$\rm \ker \varphi=\varphi^{-1}(\{e’\})\\ Im \varphi =\varphi(G)$

Remarque :

• $\ker \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G,\star)$ et $\rm Im \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G’,T)$.
• $\varphi$ est injectif si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{e\}$
• $\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi=G’$