Hyperplans et sous-espaces affines

Soit $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel.

Définition: Une forme linéaire sur $\rm E$ est une application linéaire définie sur $\rm E$ à valeurs dans $\mathbb K$.

Définition: Un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Théorème:

Si $\rm H$ est un hyperplan de $\rm E$ et $\rm D$ une droite non contenue dans $\rm H$, alors $\rm E = H \oplus D$.

Réciproquement, tout supplémentaire d’une droite est un hyperplan.

Théorème : On suppose que $\rm E$ est de dimension finie $n\in \mathbb N$. Soit $\rm B=(e_1,\ldots,e_{\mathcal n})$ une base de $\rm E$. Soit $(x_1, \ldots , x_n)$ les coordonnées d’un vecteur quelconque $x$ de $\rm E$ dans cette base.

$\rm H$ est un hyperplan de $\rm E$ si et seulement si $\rm H$ admet une équation cartésienne de la forme $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i x_i=0$ où les $a_i$ appartiennent à $\mathbb K$.

$\rm H$ est un hyperplan de $\rm E$ si et seulement $\rm H$ est de dimension $n-1$.

Théorème: Si $\rm E$ est un espace de dimension finie $n$, l’intersection de $m$ hyperplans est de dimension au moins $n–m$.

Réciproquement, tout sous-espace de $\rm E$ de dimension $n-m$ est l’intersection de $m$ hyperplans.

Définition : Un ensemble $\mathcal E$ est un espace affine s’il existe un espace vectoriel $\rm E$ et une application de $\mathcal E \times \rm E$ dans $\mathcal E$ qui au point $\rm A$ et au vecteur $\vec u$ associe $\mathrm A+\vec u$ tel que :

• $\rm \forall A\in\mathcal E$, $\forall \vec u, \vec v\in\rm E$, $(\mathrm A+\vec u)+\vec v=\mathrm A+(\vec u+\vec v)$
• $\rm \forall (A,B)\in \mathcal E^2$, il existe un unique $\vec u \in \rm E$ tel que $\mathrm A+\vec u=\rm B$

Remarque : $\rm A+\vec{u}=B$ équivaut à $\vec{u}=\vec{\rm AB}$.

L’application qui au point $\rm A$ associe $\mathrm A+\vec{u}$ est appelée translation de vecteur $\vec{u}$.

$\rm E$ est appelé direction de l’espace affine $\mathcal E$, que l’on peut aussi noter $\vec{\mathcal E}$.

Définition : Une partie $\rm F$ d’un espace affine $\rm E$ est un sous-espace affine s’il est vide ou s’il contient un point $\rm A$ tel que $\rm \vec{F}=\{\vec{AB}~ ; B\in F\}$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Propriété : Soit $\rm F$ un sous-espace affine de $\rm E$.
$\rm F$ s’écrit de façon unique $\mathrm F=\{\mathrm A+\vec x/\vec x\in \vec{\rm F}\}=\rm A+\vec F$ avec $\rm A$ un point de $\rm E$ et $\vec F$ direction de $\rm F$ sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Définitions :

• La dimension du sous-espace affine $\rm F$ est la dimension de $\rm \vec F$.
• Les sous-espaces affines de dimension $0$ sont les points.
• Les sous-espaces affines de dimension $1$ sont les droites (affines).
• Les sous-espaces affines de dimension $2$ sont les plans (affines).
• Les sous-espaces affines de dimension $n-1$ sont les hyperplans affines.

Théorème:

Soit une application linéaire $u: \rm E\to F$ et un vecteur $a\in \rm F$.
L’équation $u(x) =a$ d’inconnue $x\in \rm E$ est appelée équation linéaire.
On note $\rm S$ l’ensemble des solutions de cette équation.
Si $a\notin \mathrm{Im} u$, $\rm S=\emptyset$.
Si $a\in \mathrm{Im} u$, $\mathrm S=\{x_0+c~;c\in \ker u\}$ où $x_0$ est une solution particulière de l’équation.
$S$ est le sous-espace affine de $\rm E$ dirigé par $\mbox{ker }u$.

Résolution : Pour résoudre une équation linéaire, il faut donc :

• Trouver une solution particulière de l’équation $x_0$.
• Résoudre l’équation homogène associée qui donnera un ensemble $\rm X$.
• Obtenir l’ensemble des solutions $\mathrm S=x_0+\rm X$.

Remarque : les équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre sont donc des exemples de ce genre d’équations.