Injection, surjection, bijection

Définition : Soit $\rm E$ et $\rm F$ deux ensembles. $\rm E$ est l'ensemble de départ. $\rm F$ est l'ensemble d'arrivée. Soit $f$ une application de $\rm E$ dans $\rm F$. 

1. $f$ est injective si tous les éléments de $\rm F$ admettent au plus c'est-à-dire aucun ou un antécédent dans $\rm E$.
2. $f$ est surjective si tous les éléments de $\rm F$ admettent au moins c'est-à-dire un ou plusieurs antécédent(s) dans $\rm E$
3. $f$ est bijective si tous les éléments de $\rm F$ admettent exactement un seul antécédent dans $\rm E$ ce qui revient à dire que $f$ est injective et surjective. 

Exemple :

L'application $f$ de ${\Bbb R}$ dans ${\Bbb R}$ telle que $f(x)=x^2$ n'est pas injective car $7$ (par exemple) admet deux antécédents à savoir $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$. 

$f$ n'est pas surjective car par exemple $-12$ n'a pas d'antécédent. 

L'application $f$ de ${\Bbb R}^-$ dans ${\Bbb R}$ est injective mais pas surjective. 

Remarque : Une application $f$ de $\rm E$ sur son ensemble image $f(\rm E)$ est toujours surjective par définition même d'un ensemble image.

Comment montrer qu'une application $f:\rm E\rightarrow F$ est injective  / surjective / bijective ?

Soit $y$ dans $\rm F$. On considère l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x$. 

1. Si cette équation a au moins une solution pour n'importe quel $y$, alors $f$ est surjective.
2. Si cette équation n'a pas de solution pour au moins un $y$, alors $f$ n'est pas surjective.
3. Si cette équation a au plus une solution pour n'importe quel $y$, alors $f$ est injective.
4. Si cette équation admet au moins deux solutions pour au moins un $y$, alors $f$ n'est pas injective.
5. Si cette équation a une et une seule solution pour pour n'importe quel $y$, alors $f$ est bijective. 

Pour une fonction injective, on peut également suivre le schéma de démonstration suivant souvent utilisé pour les exercices théoriques :

Soit $x$ et $x'$ deux éléments de l'ensemble de départ tels que $f(x)=f(x')$.

À la fin, on montre que $x=x'$.

Exemple : montrer que l'application $f: {\Bbb N} \rightarrow {\Bbb N}$ telle que $f(n)=n^2$ est injective. Soit $n$ et $n'$ deux entiers tels que $f(n)=f(n')$. Alors $n^2=n'^2$ soit $0 = n^2-n'^2 = (n-n')(n+n')$ ce qui implique que $n=n'$ ou $n=-n'$. Si $n \neq n'$, on ne peut avoir $n=-n'$ pour des raisons de signe donc on a forcément $n=n'$. Donc $f$ est injective. Remarquons que $f$ n'est pas surjective. 

Dans le cas spécifique des fonctions de ${\Bbb R}$ dans ${\Bbb R}$, on dispose du théorème suivant :

Théorème : une fonction d'un intervalle $\rm I$ dans ${\Bbb R}$ strictement monotone et continue est bijective de $\rm I$ sur son ensemble image $f(\rm I)$ qui est un intervalle.

Remarque : la réciproque est fausse. La fonction $f:[0,2] \rightarrow [0,2]$ telle $f(x)=x$ si $x \in [0,1[$ et $f(x) = -x+3$ si $x \in [1,2]$ est bijective de $[0,2]$ dans $[0,2]$ mais n'est ni continue ni strictement monotone.

Définition d'une application réciproque : Si une $f : \rm E\rightarrow F$ est une bijection, on peut alors définir l'application réciproque $f^{-1}$ de $\rm F$ dans $\rm E$ qui à $y$ de $\rm F$ associe son unique antécédent dans $\rm E$.

Exemple : la fonction $f$ de ${\Bbb R}^-$ dans ${\Bbb R}^+$ définie par $f(x)=x^2$ est bijective. Son application réciproque est l'application $f^{-1}: {\Bbb R}^+ \longrightarrow {\Bbb R}^-$ définie par $f^{-1}(y) = -\sqrt{y}$.

Théorème : L'application réciproque des propriétés de $f$ c'est-à-dire si $f$ est continue alors $f^{-1}$ aussi, $f^{-1}$ a le même sens de variation et la même parité que $f$. Seule la dérivabilité peut faire défaut (par exemple, $\sin$ est dérivable de $[-\pi/2,\pi/2]$ dans $[-1,1]$ mais son application réciproque qui est $\arcsin$ n'est dérivable que sur $]-1,1[$).