Intégration

Définition :

Soit $f: \rm I \rightarrow {\Bbb R}$ une fonction définie sur l'intervalle $\rm I$. Une primitive de $f$ est une fonction $\rm F$ vérifiant :

1. $\rm F$ est dérivable sur $\rm I$
2. $\mathrm F'=f$

Remarques :

Notons qu'une primitive d'une fonction sur un intervalle $\rm I$ n'est définie qu'à une constante près. En effet, si $\rm F$ et $\rm G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ alors $\rm (F-G)'=F'-G'=f-f=0$ sur l'intervalle $\rm I$ de sorte que $\rm F-G$ est une fonction constante. 

Une primitive de la fonction $f$ se note $\displaystyle \mathrm F=\int f$ ou $\displaystyle\mathrm F(x) = \int f(x){\rm d}x$. Le symbole est le même que celui pour l'intégrale mais sans borne.

Attention : Une primitive est une fonction mais une intégrale est un nombre réel !

Géométriquement, $\displaystyle{\int_a^bf(t){\rm d}t}$ mesure l'aire algébrique délimitée entre les droites verticales $x=a$, $x=b$, la courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses.

L'adjectif algébrique signifie que la portion de surface en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement alors que celle au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.

Exemple : La primitive de $x\to 1/x$ :

$\int \frac{{\rm d}x}{x} = \left\{\begin{array}{lll}
\ln x + k_1 \text{ sur l'intervalle } ]0,+\infty[ \\
\ln(-x) + k_2 \text{ sur l'intervalle } ]-\infty,0[
\end{array}\right.$ où $k_1$ et $k_2$ désignent deux constantes réelles. 

Il y a deux liens à connaître entre intégrale et primitive. Un premier lien est constitué par ce qu'on appelle le Théorème Fondamental de l'Analyse (TFA).

Théorème Fondamental de l'Analyse :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\rm I$ de ${\Bbb R}$. Alors $f$ admet une primitive $\rm F$ sur $\rm I$ et $\rm F$ est donnée par la formule : 

$\displaystyle \forall x \in \rm I$, $\displaystyle \mathrm F(x) = \int_c^xf(t)$, $\mathrm dt$ où $c$ est un réel fixé de l'intervalle $\rm I$. 

Remarques :

$\mathrm F(c)=0$ donc $\rm F$ est en fait l'unique primitive de $f$ sur $\rm I$ qui s'annule en $c$. En outre, comme $\rm F$ est une primitive, par définition, $\rm F$ est dérivable sur $\rm I$ et $\mathrm F'=f$. Comme $f$ est continue, $\rm F$ est une fonction dérivable à dérivée continue autrement dit c'est une fonction de classe $\rm C^1$ sur $\rm I$. 

Dans l'expression $\displaystyle \forall x \in \mathrm I$, $\displaystyle \mathrm F(x) = \int_c^xf(t){\rm d}t$ il ne faut pas confondre la variable $x$ et la variable d'intégration $t$. La fonction $\rm F$ dépend de la variable $x$ mais aucunement de la variable $t$. 

Exemple : la fonction $\displaystyle{x \mapsto \mathrm F(x) = \int_{3}^{x}t{\rm d}t}$ est l'unique primitive de la fonction $t \mapsto t$ sur ${\Bbb R}$ qui s'annule en $3$. 

On a $\displaystyle \mathrm F(x) = \int_{3}^{x}t$, $\displaystyle {\rm d}t = \left[\frac{t^2}{2}\right]_3^x$ $\displaystyle = \frac{1}{2}(x^2-9)$.

Théorème :

Soit $f:[a,b] \rightarrow$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Soit $\rm F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$. Alors on a $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t){\rm d}t = \mathrm F(b)-\mathrm F(a)}$.

• Linéarité de l'intégrale
  

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a,b]$ et si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels, alors $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(\alpha.f(t)+\beta.g(t)\right){\rm d}t$ $\displaystyle = \alpha \int_a^{b}f(t){\rm d}t + \beta \int_a^{b} g(t){\rm d}t$.

• Positivité de l'intégrale
  

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors, $\displaystyle{(\forall t \in [a,b], f(t) \ge 0) \Longrightarrow \int_a^{b}f(t){\rm d}t \ge 0}$.

• Croissance de l'intégrale
  

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. Alors, $\displaystyle (\forall t \in [a,b]$, $f(t) \ge g(t))$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \int_a^{b}f(t){\rm d}t$ $\ge$ $\displaystyle \int_a^{b}g(t){\rm d}t.$

• Inégalité triangulaire
  

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors, $\displaystyle{\left|\int_a^{b}f(t){\rm d}t\right| \le \int_a^{b}|f(t)|{\rm d}t}$.

• Relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Pour tout réel $c$ dans $]a,b[$ :

$\displaystyle{\int_a^{b}f(t){\rm d}t = \int_a^{c}f(t){\rm d}t + \int_c^{b}f(t){\rm d}t}$.

Ces propriétés ne sont valables que lorsque $a < b$. Ainsi, l'intégrale d'une fonction positive peut très bien être négative ! Par exemple, $\displaystyle{\int_1^{0}x^2 = -\frac{1}{3}<0}$.

• Propriété : Si $f$ est continue, à valeurs positives, et si $\displaystyle\int_{[a,b]}f=0$ alors $f=0$.
• Parité : Si $f$ est paire, alors $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(t)dt=2\int_0^a f(t)dt$.

Si $f$ est impaire, alors $\displaystyle \int_{-a}^{a}f(t)dt=0$.

• Périodicité : Si $f$ est périodique de période $T$, alors : $\displaystyle \int_{a}^{a+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt$.

Formule d'IPP pour une primitive : $\displaystyle \int u'(x)v(x){\rm d}x$ $\displaystyle = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x$.

Formule d'IPP pour une intégrale : $\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x$ $\displaystyle = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x$.

Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif.

Exemples :

Calculons une primitive de $f(x) = x\mathrm e^{-x}$. On choisit $u'(x)=\mathrm e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = - \mathrm e^{-x}$ et $v'(x)=1$.

La formule d'IPP donne : $\displaystyle \mathrm F(x) = \int x\mathrm e^{-x}{\rm d}x$ $\displaystyle = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x$ $\displaystyle = -\mathrm e^{-x}x - \int -\mathrm e^{-x}{\rm d}x$
$\displaystyle \mathrm F(x) = -x\mathrm e^{-x} + \int \mathrm e^{-x}{\rm d}x$ $= -x\mathrm e^{-x} -\mathrm e^{-x} = -(x+1)\mathrm e^{-x}$.

Remarque : on peut vérifier le résultat en dérivant $\rm F$. On trouve bien $\mathrm F'=f$ donc $\rm F$ est bien une primitive de $f$.

Calculons l'intégrale $\displaystyle \mathrm I = \int_1^{\mathrm e} \ln(x){\rm d}x$.

On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$.

D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a :

$\displaystyle \mathrm I = [x\ln(x)]_1^{\mathrm e} - \int_1^{\mathrm e}x \frac{1}{x}{\rm d}x$ $\displaystyle = \mathrm e\ln(\mathrm e)-1\ln(1) - \int_1^{\mathrm e} 1 {\rm d}x = \rm e - (e-1) = 1$.

Le but est de réécrire l'intégrale sous une autre forme de façon à ce que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer. La méthode est la suivante.

• On définit $u = \varphi(t)$, $t$ étant l'ancienne variable d'intégration et $u$ la nouvelle.
• On dérive l'égalité précédente pour obtenir : ${\rm d}u = \varphi'(t) {\rm d}t$ et on exprime ${\rm d}t$ en fonction de $u$ et ${\rm d}u$.
• On réécrit l'intégrale en fonction uniquement de la nouvelle variable $u$ et on change les bornes.

Exemples :

On veut calculer $\displaystyle{\mathrm I = \int_0^1 \frac{\mathrm e^{4t}}{\mathrm e^{2t}+1}{\rm d}t}$. On ne voit pas de primitive de la fonction à intégrer.

• On décide de poser $u=\mathrm e^{2t}$.
• On a alors ${\rm d}u = 2\mathrm e^{2t} {\rm d}t$ (car $(\mathrm e^{2t})' = 2\mathrm e^{2t}$).
  Donc $\displaystyle{{\rm d}t = \frac{{\rm d}u}{2\mathrm e^{2t}} = \frac{1}{2u}{\rm d}u}$ car $\mathrm e^{2t}=u$.
• Lorsque $t = 0$ alors $u=\mathrm e^{2\times 0} =1$. Lorsque $t=1$ alors $u = \mathrm e^{2\times1}=\mathrm e^2$.

L'intégrale s'écrit $\displaystyle \mathrm I = \int_0^1 \frac{\mathrm e^{4t}}{\mathrm e^{2t}+1}{\rm d}t$ $\displaystyle = \int_1^{\mathrm e^2} \frac{u^2}{u+1}\frac{1}{2u}{\rm d}u$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \int_1^{\mathrm e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u$.

Pour calculer l'intégrale, on décompose la fraction :

$\displaystyle{\frac{u}{1+u} = \frac{1+u-1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u}}$.

On a alors $\displaystyle\int_1^{\mathrm e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u$ $\displaystyle = \int_1^{\mathrm e^2} 1 {\rm d}u - \int_1^{\mathrm e^2} \frac{1}{1+u}{\rm d}u$ $\displaystyle = [u]_1^{\mathrm e^2} - [\ln(1+u)]_1^{\mathrm e^2}$ $\displaystyle = \mathrm e^2-1 - \ln(1+\mathrm e^2) + \ln(2)$.

Donc $\displaystyle \mathrm I = \frac{1}{2}\left(\mathrm e^2-1 - \ln(1+\mathrm e^2) + \ln(2)\right)$.

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur $[a,b]$. On dit que $f$ est continue par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a < a_1 < \ldots < a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\ldots,n−1$, $f$ est continue sur l'intervalle $]a_i,a_{i+1}[ $ et $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite en chaque $a_i$.

Théorème : Toute fonction continue par morceaux sur $[a,b]$ est intégrable sur $[a,b]$.

Théorème : Sommes de Riemann

Soit $f$ fonction continue par morceaux sur $[a~ ;b]$.

Alors $\displaystyle\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)$ $\displaystyle \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_a^b f(t)\mathrm dt$.