Interprétation géométrique des nombres complexes

Théorème : Soient $\rm A, B, C$ trois points distincts d’affixes respectives $a, b, c\in \mathbb C$.

$\left|\displaystyle\frac{c-a}{b-a}\right|=\displaystyle\rm \frac{AC}{AB}$

$\arg\left(\displaystyle\frac{c-a}{b-a}\right)=\rm (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[2\pi]$

Propriétés : 

• $\rm A, B$ et $\rm C$ sont alignés si et seulement si $\displaystyle\frac{c-a}{b-a}\in\mathbb R$
• $\rm (AB)$ et $\rm (AC)$ sont orthogonales si et seulement si $\displaystyle\frac{c-a}{b-a}\in i\mathbb R$

Soit $(a,b)\in \mathbb C^{\star}\times \mathbb C$.

On considère la transformation du plan $f:z\mapsto z'$ tel que $z’=az+b$.

$f$ est appelée similitude directe.

• Si $a=1$, $f$ est une translation de vecteur d’affixe $b$.
• Si $a\neq 1$, $f$ est la composée d’une rotation et d’une homothétie de même centre.

1. On cherche le centre qui est l’unique point fixe (point invariant).
2. Le rapport de l’homothétie est égal à $|a|$.
3. L’angle de la rotation est égal à $arg(a)$.

Remarque : Soient $u$ et $v$ $\in \mathbb C^{\star}$ et $\theta\in\mathbb R$.

L’affixe $v$ obtenue à partir de $u$ par une rotation d’angle $\theta$ vérifie : $v=\mathrm e^{i\theta}u$.