Définition :
Soit E un K-ev de dimension finie n.
Soient B et B′ des bases de E.
La matrice de passage de B à B′, notée PB→B′, est la matrice de Mn(K) dont les colonnes sont formées des coordonnées des vecteurs de B′ dans la base B.
Autrement dit, si on note B=(e1,…,en) et B′=(e′1,…,e′n) et si pour tout j∈{1,…,n}, e′j=n∑i=1ai,jei alors :
PB→B′=(a1,1…a1,j…a1,n⋮⋮an,1…an,j…an,n)e1en↑↑↑e′1e′je′p
Exemple : Dans E=R2, on considère la base canonique B=(f1,2) et la base B′=(v1,v2)définie par v1=(1,3) et v2=(1,−1).
La matrice de passage de B à B′ est la matrice de M2(R) :
PB→B′=(113−1).
Formule de changement de base
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases B et B′.
Ef⟶EBBB′B′
On note A=MatB(f), A′=MatB′(f) et P=PB→B′. Alors A′=P−1AP.