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Matrices équivalentes, semblables et changement de bases

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Méthode 1 : Faire des changements de base

Définition :

Soit E un K-ev de dimension finie n.
Soient B et B des bases de E.
La matrice de passage de B à B, notée PBB, est la matrice de Mn(K) dont les colonnes sont formées des coordonnées des vecteurs de B dans la base B.

Autrement dit, si on note B=(e1,,en) et B=(e1,,en) et si pour tout j{1,,n}, ej=ni=1ai,jei alors :

PBB=(a1,1a1,ja1,nan,1an,jan,n)e1ene1ejep

Exemple : Dans E=R2, on considère la base canonique B=(f1,2) et la base B=(v1,v2)définie par v1=(1,3) et v2=(1,1).

La matrice de passage de B à B est la matrice de M2(R) :

PBB=(1131).

Formule de changement de base

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases B et B.

EfEBBBB

On note A=MatB(f), A=MatB(f) et P=PBB. Alors A=P1AP.

Méthode 2 : Étudier des matrices semblables

Définition:

Soit la matrice $\mathrm A=(a_{i,j}) \in \mathrm M_n(\mathbb K)$.

La trace vaut : $\mathrm{tr(A)} = a_{1,1} + \ldots + a_{n,n}$.

  • Produit de matrices :

Pour toute matrice $\mathrm A\in \mathrm M_{n,p}(\mathbb K)$, pour toute matrice $\mathrm B\in \mathrm M_{p,n}(\mathbb K)$ : $\rm tr(AB)=tr(BA)$.

  • Matrices semblables :

Deux matrices semblables ont la même trace.

Remarque :

$\mathrm A\in \mathrm M_n(\mathbb K)$ est semblable à $\mathrm B\in \mathrm M_n(\mathbb K)$ s’il existe $\mathrm P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb K)$ (groupe général linéaire = ensemble des matrices carrées réversibles d’ordre $n$) telle que $\rm B = P^{-1}AP$.

Méthode 3 : Étudier des matrices équivalentes

Définition: Les matrices $\rm A$ et $\rm A’$ de $\mathrm M_{np}(\mathbb K)$ sont équivalentes lorsqu’il existe $\mathrm P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb K)$ et $\mathrm Q \in \mathrm{GL}_p(\mathbb K) $ deux matrices inversibles, telles que : $\rm A’=PAQ$.

Théorème: Deux matrices sont équivalentes si et seulement si ce sont les matrices d’une même application linéaire exprimées dans des bases différentes.

Théorème: Classification des matrices équivalentes par le rang:

Une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle est équivalente à $\mathrm J_r$ où la matrice $\mathrm J_r$ a tous ses coefficients nuls à l’exception des $r$ premiers coefficients diagonaux, égaux à $1$.

Corollaire: Deux matrices de $\mathrm M_{np}(\mathbb K)$ sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

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