On considère que $\mathbb K$ représente $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
On note $\rm \mathbb K[X]$ l’anneau des polynômes à coefficients dans $\rm \mathbb K$.
Tout élément de $\rm \mathbb K[X]$ s’écrit sous la forme $\displaystyle\rm \sum_{i\geq 0}a_iX^i$ où les $\rm a_i$ sont nuls à partir d’un certain rang.
Définition : Si $\rm P=\displaystyle\sum_{i\geq 0}a_iX^i$ n’est pas le polynôme nul et si $\rm n\in\mathbb N$ est le plus grand indice tel que $\rm a_n\neq 0$, on définit :
- Degré de $\rm P = \deg P = n$.
Par convention, $\deg 0 = -\infty$.
- Coefficient dominant de $\rm P=a_n$.
Un polynôme est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à $1$.
Propriété :
Soit $\rm P,Q\in \mathbb K$.
$\rm \deg(P+Q)\leq max(\deg P,\deg Q)$
$\rm \deg (PQ)=\deg P+ \deg Q$.
Définition : Deux polynômes non nuls $\rm P$ et $\rm Q$ de $\rm \mathbb K[X]$ sont associés s’il existe $\lambda \in \mathbb K^*$ tel que $\rm P=\lambda Q$.
Définition : Un polynôme dans $\rm \mathbb K[X]$ est multiple d’un polynôme $\rm Q$ dans $\rm \mathbb K[X]$ s’il existe un polynôme $\rm R$ dans $\rm \mathbb K[X]$ tel que $\rm P=QR$.
On dit que $\rm Q$ est un diviseur de $\rm P$ ou que $\rm Q$ divise $\rm P$ et on note $\rm Q|P$.
Exemple : tout polynôme constant non nul divise tous les polynômes.
Théorème : Division euclidienne
Soit $\rm A$ un polynôme de $\rm \mathbb K[X]$ et $\rm B$ un polynôme non nul de $\rm \mathbb K[X]$.
Il existe un unique couple de polynômes $\rm (Q,R)$ tel que $\rm A=BQ+R$ et $\rm \deg R< \deg B$.
$\rm Q$ est appelé le quotient et $\rm R$ le reste de la division euclidienne.
Exemple : $\rm P(X) = X^3-1$ a une racine évidente qui est $1$. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme $\rm Q$ tel que $\rm P(X) = (X-1)Q(X)$.
On détermine le polynôme $\rm Q$ par division euclidienne :
Alors $\rm Q=X^2+X+1$ et $\rm R=0$.
