go-back Retour

Polynômes (partie 2)

📝 Mini-cours GRATUIT

Méthode 1 : Étudier des racines de polynômes

On considère que K représente R ou C.

La fonction polynomiale associée à un polynôme PK[X] est la fonction qui à xK associe P(x)K.

Définition : Soit P un polynôme. Une racine a de P est une solution de l’équation P(x)=0. On dit aussi que la racine est un zéro de P.

On a alors (Xa) qui divise P.

Théorème de d’Alembert-Gauss : Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans C.

Définition :

Soit PK[X]. Soit aK. Soit kN.

  • On dit que a est une racine d'ordre au moins k de P si (Xa)k divise P c'est-à-dire P(X)=(Xa)kQ(X) avec Q(X) un polynôme.
  • On dit que a est une racine d'ordre exactement k de P si (Xa)k divise P et si (Xa)k+1 ne divise pas P.
    Cela revient à dire que P s'écrit P(X)=(Xa)kQ(X) et Q(a)0.
  • On dit aussi que a est une racine de multiplicité k.

Exemple :

Soit P(X)=3(X2+1)2(X2). P est un polynôme réel ou complexe.

  • Dans K=R : 2 est une racine d'ordre 1 ou simple de P.
  • Dans K=C : i et i sont des racines d'ordre 2 ou doubles. 2 est une racine simple.

Théorème : caractérisation des racines multiples

Soit aK. Soit kN.

  • a est une racine d'ordre au moins k si et seulement si P(a)=P(a)==P(k1)(a)=0.
  • a est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement k de P si et seulement si P(a)=P(a)==P(k1)(a)=0 et P(k)(a)0.

Définition : On dit qu'un polynôme de K[X] est scindé sur K si toutes ses racines sont dans K. Cela revient à dire qu'il est entièrement factorisable dans K[X].

D'après un théorème tout polynôme de C[X] est scindé dans C. Mais par exemple X2+1 n'est pas scindé dans R.

Soit P=a0+a1X++anXn un polynôme de K[X] de degré n donc an0.

On suppose que P est scindé sur K donc le polynôme P peut s'écrire P(X) =an(Xx1)(Xx2)(Xxn)x1,,xn sont les racines de P (pas forcément distinctes).

On définit σ1=x1++xn= la somme des racines de P et σn=x1xn le produit ses racines de P.

Formule à connaître : σ1=an1an et σn=(1)na0an autrement dit on a σ1=coeffficient devant Xdeg(P)1cd(P) avec cd(P) le coefficient dominant de P.

Et σn=(1)deg(P)coeffficient constant cd(P).

Méthode 2 : Étudier des polynômes irréductibles

Définition : Un polynôme $\rm P$ dans $\rm \mathbb K[X]$ est irréductible s’il est non constant et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme $\rm \lambda P$ avec $\rm \lambda \in \mathbb K^{\star}$.

Exemple : Dans $\rm \mathbb R[X]$, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ de discriminant négatif.

Théorème :

  • Dans ${\Bbb C}$ : tout polynôme se factorise complètement c'est-à-dire s'écrit en produit de facteurs de degré $1$.
  • Dans ${\Bbb R}$ : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré $1$ et éventuellement en produit de facteurs de degré $2$ à discriminant $< 0$.

Exemple : $\rm X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1)$ est la factorisation dans $\rm {\Bbb R}[X]$. Le trinôme $\rm X^2+X+1$ n'est pas plus factorisable dans $\rm {\Bbb R}[X]$.

  • Dans $\rm {\Bbb C}[X]$, on peut aller plus loin $\rm X^2+X+1 = (X-j)(X-\overline{j})$ avec $\displaystyle\rm j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ (racine cubique de l'unité).

Donc $\rm X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-\overline{j})$ (produit de facteurs de degré $1$).

Pour factoriser un polynôme de $\rm {\Bbb R}[X]$, on peut le factoriser dans $\rm {\Bbb C}[X]$ puis rassembler les facteurs conjugués. En effet, un théorème affirme que si $\rm a \in {\Bbb C}$ est une racine de $\rm P \in {\Bbb R}[X]$ alors $\rm \overline{a}$ est aussi une racine de $\rm P$. On va donc rassembler les facteurs$\rm (X-a)(X-\overline{a})$ en utilisant la formule :$\rm (X-a)(X-\overline{a}) = X^2 - 2Re(a) X + |a|^2$.

Exemple : Factorisons le polynôme $\rm X^4+1$ d'abord dans $\rm {\Bbb C}[X]$. Il faut donc chercher les racines de ce polynôme c'est-à-dire résoudre l'équation $z^4=-1$. Cela revient à chercher les racines $4$-ème de $-1$.

On a $\rm -1 = e^{i\pi}$. Une racine $4$-ème possible est donc $z_0 = \rm e^{i\pi/4}$. On obtient les autres en multipliant $z_0$ par les racines $4$-ème de l'unité : $1$, $\rm i = e^{i\pi/2}$, $\rm -1=e^{i\pi}$ et $\rm -i=e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

On trouve $z_1 = z_0 \times \rm e^{i\pi/2} = e^{3i\pi/4}$, $z_2 = z_0 \times \rm e^{i\pi} = e^{5i\pi/4} = e^{-3i\pi/4}$ $=\overline{z_1}$ et $z_3 = z_0 \times \rm e^{-i\pi/2} = e^{-i\pi/4}$ $=\overline{z_0}$.

La factorisation dans $\rm {\Bbb C}[X]$ est $\rm X^4+1$ $= (\mathrm X-z_0)(\mathrm X-z_1)(\mathrm X-z_2)(X-z_3)$ $= (\mathrm X-z_0)(\mathrm X-\overline{z_0})(\mathrm X-z_1)(\mathrm X-\overline{z_1})$.

Or $(\mathrm X-z_0)(\mathrm X-\overline{z_0})$ $= \mathrm X^2-2\mathrm{Re}(z_0)\mathrm X + |z_0|^2$ $\rm = X^2-\sqrt{2}X+1$ et $(\mathrm X-z_1)(\mathrm X-\overline{z_1})$ $= \mathrm X^2-2\mathrm{Re}(z_1)\mathrm X + |z_1|^2 = \rm X^2+\sqrt{2}X+1$.

Donc la décomposition de $\rm X^4+1$ dans $\rm {\Bbb R}[X]$ est $\rm X^4+1$ $\rm = (X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$.

Méthode 3 : Interpolation de Lagrange

Théorème : Si $x_1,\ldots ,x_n$ sont des éléments distincts de $\mathbb K$ et $y_1,\ldots, y_n$ des éléments de $\mathbb K$, il existe un unique polynôme $\mathrm P\in \mathbb K_{n-1}[\rm X]$ tel que $\mathrm P(x_i) = y_i$ pour tout $i$.

$\rm P$ s’écrit $\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i \rm L_i$

Où $\rm L_i$ est le i-ème polynôme de Lagrange :

$\rm L_i(X)=\displaystyle\prod_{j\neq i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$.

🎲 Quiz GRATUIT

NOMAD EDUCATION

L’app unique pour réussir !