On considère que K représente R ou C.
La fonction polynomiale associée à un polynôme P∈K[X] est la fonction qui à x∈K associe P(x)∈K.
Définition : Soit P un polynôme. Une racine a de P est une solution de l’équation P(x)=0. On dit aussi que la racine est un zéro de P.
On a alors (X−a) qui divise P.
Théorème de d’Alembert-Gauss : Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans C.
Définition :
Soit P∈K[X]. Soit a∈K. Soit k∈N∗.
- On dit que a est une racine d'ordre au moins k de P si (X−a)k divise P c'est-à-dire P(X)=(X−a)kQ(X) avec Q(X) un polynôme.
- On dit que a est une racine d'ordre exactement k de P si (X−a)k divise P et si (X−a)k+1 ne divise pas P.
Cela revient à dire que P s'écrit P(X)=(X−a)kQ(X) et Q(a)≠0. - On dit aussi que a est une racine de multiplicité k.
Exemple :
Soit P(X)=3(X2+1)2(X−2). P est un polynôme réel ou complexe.
- Dans K=R : 2 est une racine d'ordre 1 ou simple de P.
- Dans K=C : i et −i sont des racines d'ordre 2 ou doubles. 2 est une racine simple.
Théorème : caractérisation des racines multiples
Soit a∈K. Soit k∈N∗.
- a est une racine d'ordre au moins k si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P(k−1)(a)=0.
- a est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement k de P si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P(k−1)(a)=0 et P(k)(a)≠0.
Définition : On dit qu'un polynôme de K[X] est scindé sur K si toutes ses racines sont dans K. Cela revient à dire qu'il est entièrement factorisable dans K[X].
D'après un théorème tout polynôme de C[X] est scindé dans C. Mais par exemple X2+1 n'est pas scindé dans R.
Soit P=a0+a1X+…+anXn un polynôme de K[X] de degré n donc an≠0.
On suppose que P est scindé sur K donc le polynôme P peut s'écrire P(X) =an(X−x1)(X−x2)…(X−xn) où x1,…,xn sont les racines de P (pas forcément distinctes).
On définit σ1=x1+…+xn= la somme des racines de P et σn=x1…xn le produit ses racines de P.
Formule à connaître : σ1=−an−1an et σn=(−1)na0an autrement dit on a σ1=−coeffficient devant Xdeg(P)−1cd(P) avec cd(P) le coefficient dominant de P.
Et σn=(−1)deg(P)coeffficient constant cd(P).